Diferencia entre Centro de masas y centro de gravedad

[arivasm]

Re: Diferencia entre Centro de masas y centro de gravedad

$\dst \vec {X_{cg}}\times\left (\iiint \limits_V \vec{g}_{(x,y,z)}\rho_{(x,y,z)}\dd x \dd y \dd z\right )$$=\dst\iiint \limits_V \vec X\times \left (\vec{g}_{(x,y,z)}\rho_{(x,y,z)}\right )\dd x \dd y \dd z$

y aqui es donde viene el paso que matemáticamente no lo puedo demostrar .... creo que es multiplicando por alguna matriz inversa ...

En general la ecuación $\vec x \times \vec a=\vec b$ o bien no tiene solución (si los vectores $\vec a$ y $\vec b$ no son perpendiculares) o tiene infinitas. Recordemos que $\vec b$ representa la superficie de un paralelogramo de lados $\vec x$ y $\vec a$. Si me dicen el valor del área de un paralelogramo, por ejemplo 20 cm², y la longitud de uno de sus lados, 10 cm, puedo construir infinitos paralelogramos que satisfagan esas condiciones; por ejemplo, el rectángulo cuyo segundo lado mide 2 cm o un romboide, cuyos lados forman un ángulo de 30º y el segundo lado mide 4 cm. En general, el segundo lado medirá, en cm, $2/\sin\theta$.

Me da la sensación de que la definición de centro de gravedad no está nada pulida, salvo para los casos en los que el campo gravitatorio posee la misma dirección en todos los puntos (que seguramente son los de interés, salvo para Darth Vader y su Estrella de la Muerte -por aquello de que es un objeto muy extenso-).

Por ejemplo, ¿cuál es el centro de gravedad de un sistema formado por dos masas de valor 1 (omitimos las unidades, por razones obvias) situadas en los puntos (1,0,0) y (0,1,0) en los cuales el campo gravitatorio vale (-1,0,0) y (0,-1,0) respectivamente*?

*He puesto esos signos menos para que nadie me pueda decir que ese campo no puede existir: sería el caso del campo creado por una masa en el origen de coordenadas.

[Richard R Richard]

Re: Diferencia entre Centro de masas y centro de gravedad

Si carroza , la gravedad en cada punto es un vector, lo que no he podido es llegar a una fomula satisfactoria para postearla aqui , quiza a que no tenga todo el conocimiento de algebra vectorial muy presente .

cito un párrafo del link que propusiste.

En otras palabras, el centro de gravedad de un cuerpo es el punto respecto al cual las fuerzas que la gravedad ejerce sobre los diferentes puntos materiales que constituyen el cuerpo producen un momento resultante nulo.

entiendo lo que escribía skinet se cumple de manera parcial y por eso intente tratar al tema de manera vectorial.

en definitiva lo que pretendía es partir de la definición de momento nulo y llegar a la definición de centro de gravedad, pero algo de mi matemática me falla , me quede estancado y postee algo muy liviano, quizá con otros ojos mas , pueda llegar a buen puerto



si parto de la definición de que el centro de gravedad es el punto donde las fuerzas gravitatorias provocan momento nulo

$\vec 0=\dst\iiint \limits_V \left (\vec X-\vec {X_{cg}}\right )\times \left (\vec{g}_{(x,y,z)}\rho_{(x,y,z)}\right )\dd x \dd y \dd z$

puedo rearreglar de acuerdo a identidades del algerbra a

$\vec 0=\dst\iiint \limits_V \vec X\times \left (\vec{g}_{(x,y,z)}\rho_{(x,y,z)}\right )\dd x \dd y \dd z$$-\dst\iiint \limits_V \vec {X_{cg}}\times \left (\vec{g}_{(x,y,z)}\rho_{(x,y,z)}\right )\dd x \dd y \dd z$

luego

$\dst\iiint \limits_V \vec {X_{cg}}\times \left (\vec{g}_{(x,y,z)}\rho_{(x,y,z)}\right )\dd x \dd y \dd z$$=\dst\iiint \limits_V \vec X\times \left (\vec{g}_{(x,y,z)}\rho_{(x,y,z)}\right )\dd x \dd y \dd z$

luego sabiendo que $\vec {X_{cg}}$ es constante dentro de la integral...

$\dst \vec {X_{cg}}\times\left (\iiint \limits_V \vec{g}_{(x,y,z)}\rho_{(x,y,z)}\dd x \dd y \dd z\right )$$=\dst\iiint \limits_V \vec X\times \left (\vec{g}_{(x,y,z)}\rho_{(x,y,z)}\right )\dd x \dd y \dd z$

y aqui es donde viene el paso que matemáticamente no lo puedo demostrar .... creo que es multiplicando por alguna matriz inversa ...para convertir cada componente del vector en una componente construida por una multiplicación de escalares


$\dst\vec {X_{cg}}=?\dfrac{\iiint \limits_V \vec X\left (\vec{g}_{(x,y,z)}\rho_{(x,y,z)}\right )\dd x \dd y \dd z}{\iiint \limits_V \vec{g}_{(x,y,z)}\rho_{(x,y,z)}\dd x \dd y \dd z }$

que es lo mas parecido que arribe de donde pretendo que es

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] $,\dfrac{\iiint \limits_V y\left (g_y\rho_{(x,y,z)}\right )\dd x \dd y \dd z}{\iiint \limits_V g_y\rho_{(x,y,z)}\dd x \dd y \dd z }$$,\left .\dfrac{\iiint \limits_V z\left (g_z\rho_{(x,y,z)}\right )\dd x \dd y \dd z}{\iiint \limits_V g_z\rho_{(x,y,z)}\dd x \dd y \dd z }\right )$

[carroza]

Re: Diferencia entre Centro de masas y centro de gravedad

Richard, tu definicion de centro de gravedad tiene el problema de que la aceleración de la gravedad en cada punto, $\vec g (V)$, es un vector en cada punto, y no un escalar.

Yo preferiría definirlo a partir de https://es.wikipedia.org/wiki/Centro...ro_de_gravedad

Saludos

[Richard R Richard]

Re: Diferencia entre Centro de masas y centro de gravedad

pero hay infinitos puntos que cumplen esa definición .... los que están en una linea recta que pasa por el cdg y tiene la dirección del campo gravitatorio....

Eso sucedería si consideras constante a la gravedad con respecto a un plano horizontal , la sección del objeto simetrica con respecto a ese eje... que no deja de ser un caso especial, no la regla general. no todos los puntos de la recta tienen un equilibrio estable.

Si cuelgo el objeto del centro de gravedad no se tumba en ninguna de las direcciones espaciales , porque tiene todos los momentos equilibrados , por el contrario si cuelgo un paralilepipedo por el centro de la cara inferior, al mas mínimo desequilibrio rotara y quedara colgado de lo que se convierte en la cara superior, pero si lo cuelgas en el centro de gravedad como lo coloques quedará siempre en equilibrio.


Lo que aparece en negritas es un vector no una única coordenada espacial , yo he resuelto las integrales aplicando supuestos que me permiten simplificar mucho los cálculos para hacer coincidir el valor de los tres centros.

$\dst\mathbf x_{\text{cg}} =(x_{\text{cg}},y_{\text{cg}},z_{\text{cg}})$

porque en realidad el centro de gravedad surge de hacer la misma integral para la las tres direcciones espaciales.

osea llegas a tres integrales una por cada dirección espacial


$\dst x_{\text{cg}} = \dfrac{ \int \limits_V x\rho(V) g(V)\ dV}{ \int \limits_V\rho(V)g(V)\ dV}<br />$

$\dst y_{\text{cg}} = \dfrac{ \int \limits_V y\rho(V) g(V)\ dV}{ \int \limits_V\rho(V)g(V)\ dV}<br />$

$\dst z_{\text{cg}} = \dfrac{ \int \limits_V z\rho(V) g(V)\ dV}{ \int \limits_V\rho(V)g(V)\ dV}<br />$

cuando aplicas algún concepto de simetría, constancia, nulidad , o desprecias la altura del objeto con respecto al radio de la tierra, resuelven mas fácilmente cada una de las integrales.

si el ejemplo que vengo manejando supongo que la superficie S es cuadrada de lado L, y la densidad del material constante y la gravedad no varia con la altura z y es igual a la de la superficie terrestre

$\dst x_{\text{ce}}=\dst x_{\text{cm}} =\dst x_{\text{cg}}=\dfrac L2$

$\dst y_{\text{ce}}=\dst y_{\text{cm}} =\dst y_{\text{cg}}=\dfrac L2$

$\dst z_{\text{ce}}=\dst z_{\text{cm}} =\dst z_{\text{cg}}=\dfrac H2$


entonces

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

[skynet]

Re: Diferencia entre Centro de masas y centro de gravedad

-El centro de gravedad de un sistema es el punto respecto del que el momento de todas las fuerzas gravitatorias es nulo.

pero hay infinitos puntos que cumplen esa definición .... los que están en una linea recta que pasa por el cdg y tiene la dirección del campo gravitatorio....

[anxel71]

Re: centro de gravedad

Muchas gracias Richard

[Richard R Richard]

Re: centro de gravedad

Tampoco es igual, el centroide solo tiene en cuenta la geometría del objeto, si el objeto tiene densidad constante entonces el centroide y el centro de masa coinciden , y si además la gravedad es constante también coincide con el centro de gravedad
Siguiendo el ejemplo,
$\dst\mathbf r_{\text{ce}} = \dfrac{ \int \limits_V \mathbf r \ dV}{ \int \limits_V\ dV} = \dfrac{\int\limits_V \mathbf r \ dV}{V}=\dfrac{\int\limits_0^H \mathbf hS \ dh}{SH}=\dfrac{\int\limits_0^H \mathbf h\ dh}{H}=\dfrac H2$

Centroide	Centro de masa	Centro de gravedad
$\dst\mathbf r_{\text{ce}} = \dfrac{ \int \limits_V \mathbf r \ dV}{ \int \limits_V\ dV}$	$\dst\mathbf r_{\text{cm}} = \dfrac{ \int \limits_V \mathbf r\rho(V) \ dV}{ \int \limits_V\rho(V)\ dV}$	$\dst\mathbf r_{\text{cg}} = \dfrac{ \int \limits_V \mathbf r\rho(V) g(V)\ dV}{ \int \limits_V\rho(V)g(V)\ dV}$

[surrealfrog]

Re: centro de gravedad

Y el centroide es lo mismo que el centro de masa?

[Richard R Richard]

Re: centro de gravedad

No no son lo mismo

https://es.wikipedia.org/wiki/Centro_de_gravedad#Conceptos_relacionados

coinciden si el campo gravitatorio es uniforme, para objetos grandes en los cuales el campo gravitatorio varia con la altura , el centro de gravedad diferirá del centro de masa. en objetos pequeños de la vida cotidiana la diferencia es inapreciable,

El centro de masas de un objeto de base S despreciable y altura h y densidad constante los calcularias


$\dst\mathbf r_{\text{cm}} = \dfrac{ \int \limits_V \rho\mathbf r \ dV}{\int \rho\ dV} = \dfrac{\int\limits_V \mathbf r \ dV}{V}=\dfrac{\int\limits_0^H \mathbf hS \ dh}{SH}=\dfrac{\int\limits_0^H \mathbf h\ dh}{H}=\dfrac H2$

y el centro de gravedad

$\dst\mathbf r_{\text{cg}} = \dfrac{\int\limits_V\rho \mathbf r g(r) \ dV}{\int_V\rho g(r)\ dV} = \dfrac{\int\limits_V \mathbf r g(r)\ dV}{\int\limits_V g(r)\ dV}=$$\dfrac{\int\limits_0^H \mathbf hS g(h)\ dh}{S\int\limits_0^H g(h)\ dh}=\dfrac{\int\limits_0^H \mathbf h g(h)\ dh}{\int\limits_0^H g(h)\ dh}$


como puedes ver si $g(h)=cte$ ambas expresiones coinciden


pero por lo general $g(h)=\dfrac{GM}{(R_t+h)^2}$ para la variación de la gravedad en función de la masa y el radio terrestre , no vale la pena considerar la diferencia cuando $H<<R_T$

[anxel71]

centro de gravedad

Hola, yo soy Ángel
Quería preguntar: Es lo mismo centro de gravedad
que centro de masas ?

Muchas gracias

[dg11]

Re: Diferencia entre Centro de masas y centro de gravedad

muchísimas gracias por la respuesta y por la rapidez !! un saludo cracks

[Alriga]

Re: Diferencia entre Centro de masas y centro de gravedad

Hola dg11, bienvenido a La web de Física, pr favor lee atentamente Consejos para conseguir ayuda de forma efectiva

... si … me pudiera resolver esa duda, la diferencia entre centro de gravedad y centro de masas …

Son dos conceptos diferentes, grosso modo:

-El centro de masas de un sistema es el único punto del sistema en el que si aplicas cualquier fuerza en cualquier dirección, éste adquiere solo movimiento de traslación sin rotación.

-El centro de gravedad de un sistema es el punto respecto del que el momento de todas las fuerzas gravitatorias es nulo.

Uno tiene que ver con cualquier tipo de fuerza aplicada al sistema, y el otro exclusivamente con la interacción gravitacional. En ausencia de campo gravitatorio externo o con un campo gravitatorio externo uniforme, ambos puntos coinciden, pero si el campo gravitatorio no es uniforme no tienen porqué coincidir.

Saludos.

EDITADO: me he superpuesto con Lorentz mientras redactaba la respuesta, saludos Lorentz

[Lorentz]

Re: Diferencia entre Centro de masas y centro de gravedad

Buenas, tal y como te dice este enlace:

https://es.wikipedia.org/wiki/Centro_de_gravedad

[FONT=sans-serif]El centro de masa coincide con el centro de gravedad cuando el cuerpo está en un campo gravitatorio uniforme. Es decir, cuando el c[/FONT]ampo gravitatorio[FONT=sans-serif] es de magnitud y dirección constante en toda la extensión del cuerpo.

Saludos

EDITADO: El siguiente post de Alriga es más completo así que te será más útil. Saludos de vuelta, Alriga
[/FONT]

[dg11]

Buenas foro !! pues lo dicho, si algún crack de la física me pudiera resolver esa duda, la diferencia entre centro de gravedad y centro de masas, se lo agradecería muchísimo !!