1r ciclo Energía de un cuerpo rígido

[elmecama]

Hola, ¿qué tal?

Tengo una pequeña duda con respecto al cálculo de la energía de un cuerpo rígido. Si se tiene un cuerpo rígido que es un disco homogéneo de masa m y radio r que tiene incrustado en la periferia una masa m puntual, y el disco está rodando sin deslizar sobre el piso, entonces la energía cinética del sistema será:

$K=\frac {1}{2} mv_{o}^2 + \frac{1}{2} I_{o} \omega^2 +\frac{1}{2}mv_{b}^2$

donde $v_{o}$ es la velocidad del centro del disco

$I_{o}$ es el momento de inercia del disco homogéneo (sin tener en cuenta la masa incrustada): $I_{o}=\frac{1}{2}mr^2$

$\omega$ es la velocidad angular del disco (que varía)

$v_{b}$ es la velocidad del punto de la periferia en el que está incrustada la masa m.

Se tendría, por la condición de rodadura sin deslizamiento, que:

$v_{o} = \omega r \hat{\imath}$
$v_{b} = \omega r \hat{\imath} + \omega r \hat{ e_{\varphi}}$

Entonces, la energía cinética queda:

$K = \frac{1}{2}m \omega ^2 r^2 + \frac{1}{4}m \omega^2 r^2 + \frac{1}{2} m \omega^2 r^2 + \frac{1}{2} m \omega^2 r^2$

$K=\frac{7}{4} m \omega ^2 r^2$

Por otra parte, la energía potencial gravitatoria es:

$U= mgr + mgr(1+\cos \theta)$
donde $\theta$ es el ángulo entre la vertical y la recta $\bar{ob}$, que pasa por el centro del disco y el punto donde se encuentra la masa incrustada.

Entonces, la energía total es:

$E=K+U=\frac{7}{4}m \omega^2 r^2 + mgr(2+\cos \theta)$

Lo que se puede escribir también:

$E= \frac{7}{4}m \dot{\theta}^2 r^2 + mgr(2+\cos \theta)$

Quisiera saber si eso está bien.
Gracias!

[Lorentz]

Re: Energía de un cuerpo rígido

Hola, ¿qué tal?

Tengo una pequeña duda con respecto al cálculo de la energía de un cuerpo rígido. Si se tiene un cuerpo rígido que es un disco homogéneo de masa m y radio r que tiene incrustado en la periferia una masa m puntual, y el disco está rodando sin deslizar sobre el piso, entonces la energía cinética del sistema será:



donde es la velocidad del centro del disco

es el momento de inercia del disco homogéneo (sin tener en cuenta la masa incrustada):

es la velocidad angular del disco (que varía)

es la velocidad del punto de la periferia en el que está incrustada la masa m.

No me convence del todo esa expresión de la energía cinética. Yo usaría la siguiente expresión general para la energía cinética de un sólido rígido:

$T=\frac{1}{2} m v^2+m\vec{v}(\vec{\omega} \times \vec{r_{cm}})+\frac{1}{2}\vec{\omega} I \vec{\omega}$

Lo que haría yo sería sustituir la $v$ por la velocidad de traslación y calcular el centro de masas del disco junto a la masa de la periferia y el momento de inercia general teniendo en cuenta dicha masa. Aunque pensándolo bien, puede ser un poco laborioso. El motivo por el que no me convence lo que has puesto es porque en esa expresión que pones parece como si no estuvieras teniendo en cuenta la masa periférica en el momento de inercia del disco.
Tal y como yo lo entiendo esa masa está adherida al disco y tiene que aportar al momento de inercia total.