Otras carreras Duda en la deducción de la ecuación fundamental de la hidrostática

[HGDANSRB]

Hola, tengo una duda acerca de la demostración de la ecuación de la hidrostática, no logro comprender porque sumar un diferencial de presión $(\dd P)$ en el vector de la parte superior del elemento de fluido, como se ve en la imagen, si estamos avanzando en dirección positiva respecto al punto de referencia que es el fondo, es decir, estamos avanzando el espesor $\dd y$ ¿no debería restarse este diferencial de presiones en lugar de sumarse? si la presión se hace más pequeña cuanto más arriba se avanza, la presión en el fondo sería mayor y sin embargo en los libros que he visto esta demostración me dan a entender que la presión en la parte superior del elemento de fluido es mayor que en el fondo.



Si hacemos sumatoria de fuerzas en $y$ se obtienen las siguientes ecuaciones:

$\dst(P + \dd P)A = F + \dd F$

$\dst PA = F$

$\dst\sum {F}_{y} = F -\dd W -(F + \dd F) = 0$

$\dst\dd W = \rho gA\dd y$

$\dst\dd F = -\rho gA\dd y$

De la ecuación anterior llego a la conclusión que $-\dd F$ es igual al empuje, más bien a un diferencial de empuje y es por eso que no entiendo porque sumar ese $\dd P$en la parte superior del elemento de fluido si el empuje es quien impide que la columna de fluido se hunda y según yo sería más lógico sumarlo en la parte inferior, divido esta última ecuación por el área para obtener presiones e integro desde un punto $1$ a un punto $2$, y tomando en cuenta que en el punto $1$ se tiene una altura ${y}_{1}$ y presión ${P}_{1}$ y en el punto $2$ se tiene una altura ${y}_{2}$ y una presión ${P}_{2}$ , ${y}_{2} > {y}_{1}$:

$\dst\dd P = -\rho g\dd y$

$\dst\int_{{P}_{1}}^{{P}_{2}}\dd P = -\rho g\int_{{y}_{1}}^{{y}_{2}}\dd y \to {P}_{2} - {P}_{1} = -\rho g({y}_{2} - {y}_{1})$

Ahora, si hacemos la presión en el punto $2$ igual a la presión atmosférica, la presión en el punto $1$ simplemente la llamamos $P$ y la diferencia de alturas la llamamos $h$, la ecuación anterior queda de la siguiente manera:

$\dst{y}_{2} - {y}_{1} = h, {P}_{2} = {P}_{0}, {P}_{1} = P$

$\dst{P}_{0} - P = -\rho gh$

$\dst P = {P}_{0} + \rho gh$

Esta ecuación es una de las formas de la ecuación de la hidrostática, como podemos ver si vamos de una altura mayor a una menor según el punto de referencia de la imagen, es decir, si nos sumergimos más en el fluido, la presión aumenta, tal y como ocurre realmente.

Como mencione en un párrafo anterior, si ese diferencial de presión lo sumo a la fuerza $PA$ en la parte inferior del elemento de fluido y realizo la sumatoria de fuerzas obtengo lo siguiente:

$\dst\sum {F}_{y} = -F - \dd W + (F + \dd F) = 0$

$\dst\dd W = \rho gA\dd y$

$\dst\dd F = \rho gA\dd y$

Como vemos aquí ya no aparece el signo negativo, continuo con el mismo procedimiento anterior y obtengo las ecuaciones siguientes:

$\dst\dd P = \rho g\dd y$

$\dst\int_{{P}_{1}}^{{P}_{2}}\dd P = \rho g\int_{{y}_{1}}^{{y}_{2}}\dd y \to {P}_{2} - {P}_{1} = \rho g({y}_{2} - {y}_{1})$

$\dst{y}_{2} - {y}_{1} = h, {P}_{2} = {P}_{0}, {P}_{1} = P$

$\dst{P}_{0} - P = \rho gh$

$\dst P = {P}_{0} - \rho gh$

Según esta última ecuación entre más profundo estoy la presión se hace menor, esto no es así realmente, lo que quiere decir que ese diferencial de presión $\dd P$ si se suma en la parte superior del elemento de fluido y que la ecuación correcta es la del primer desarrollo. Si es una demostración y consideramos que matemáticamente no sabemos en que dirección la presión aumenta o disminuye, entonces, ¿cuál es la consideración para sumar ese $\dd P$a la presión en la parte superior de el elemento de fluido?

Gracias, espero me haya dado a entender.

[Al2000]

Re: Duda en la deducción de la ecuación fundamental de la hidrostática

¿No estás perdiendo de vista el sistema de referencia? En el dibujo claramente se establece que el origen del sistema de referencia está en el fondo del recipiente y que la coordenada $y$ se mide hacia arriba. La $h = y_2 - y_1$ es la altura medida desde el fondo del recipiente, y ciertamente la presión debe disminuir al aumentar $h$.

Como comentario adicional, en las fórmulas que usamos corrientemente para los líquidos usualmente $h$ representa la profundidad, medida hacia abajo desde la superficie libre del líquido. Eso es sólo una conveniencia. Fíjate que esa misma convención sería incómoda para medir la presión atmosférica.

Respecto al comentario que haces sobre el $dp$... el diferencial representa la variación de presión cuando la coordenada aumenta y debes sumar a la presión $p$ que exista en la coordenada $y$ el cambio de presión $dp$ que corresponda al incremento $dy$ de la coordenada. El análisis de la situación mostrará mas adelante que tal $dp$ es negativo cuando $dy$ sea positivo, pero no puedes anticiparte al resultado y decir que debes restar el cambio de presión... eso es incorrecto y si lo haces incurres en un error de signo en las ecuaciones que obtengas.

Un ejemplo adicional para clarificar. Si un móvil se encuentra en la coordenada $x$ al tiempo $t$, cuando haya transcurrido un intervalo $dt$ se hallará en la posición $x + dx$... independientemente de si el móvil está avanzando a lo largo del eje, estacionario o retrocediendo... simplemente en el primer caso será $dx > 0$, en el segundo $dx = 0$ y en el tercero $dx < 0$.

Saludos,

$\mathcal A \ell$

[HGDANSRB]

Re: Duda en la deducción de la ecuación fundamental de la hidrostática

Muchas gracias por tu respuesta, en el último párrafo que escribiste me quedo muy claro porque existe ese diferencial de presión $(\dd P)$ y porque se suma, la duda principal era porque sumarlo en la parte superior y no en la inferior, en el tercer párrafo lo dejas bastante claro, si no existiera ese $\dd y$ no existiría $\dd P$, en la parte inferior la presión es $P$, en la parte superior ahora la presión es $P + \dd P$, como es una altura diferente, es decir, una posición diferente, es ahí donde se suma ese diferencial porque nos interesa saber como varia la presión en esa posición cuando varia esa altura, y como bien mencionas, y esto es independiente de si la presión aumenta, disminuye o no cambia, al final el propio desarrollo de las ecuaciones nos dirá si ese cambio en la altura provoca un aumento o disminución de la presión.

Ahora comprendo mi error, yo me estaba adelantando al resultado como bien dices, esto debió pasar porque ya tenía en la cabeza que a mayor profundidad mayor presión y como en el análisis ese diferencial se suma en la parte superior me hacía pensar que la presión estaba aumentando a una menor profundidad, pero no, solo se esta viendo un cambio de presión a una posición diferente, considerando que ese cambio puede ser positivo, negativo o nulo.

Gracias de nuevo por responder.