1r ciclo Calculo de la aceleración de Coriolis a partir de los símbolos de Christoffel

[alejandromeira]

Estoy intentando obtener la aceleración de coriolis a partir de los símbolos de Christoffel, pero no se si lo estoy haciendo bien. Además no soy capaz de interpretar las soluciones que he obtenido, que no se ni siquiera si están bien. Parto de la ecuación:

$${a}_{k}=\frac{{\partial}^{ 2}{x}_{ k}}{\partial {t}^{ 2}}+{\Gamma}^{ k}_{i\j}\frac{\partial{x}_{i }}{\partial t}\frac{\partial{x}_{ j}}{\partial t}<br />$$

Con los símbolos de Christoffel en coordenadas esféricas: ${\Gamma}^{1}_{2\ 2}=-R; {\Gamma}^{1}_{3\ 3}=-R{\sin}^{2 }\theta;$${\Gamma}^{2}_{1\ 2}={\Gamma}^{2}_{2\ 1}=1/R; {\Gamma}^{2}_{3\ 3}=-\sin\theta\cos\theta;$${\Gamma}^{3}_{1\ 3}={\Gamma}^{3}_{3\ 1}=1/R; {\Gamma}^{3}_{2\ 3}={\Gamma}^{3}_{3\ 2}=\frac{\cos\theta}{ \sin\theta}$

Con las coordenadas: r=1; theta=2; y phi=3. Hago el comienzo del desarrollo de los cálculos para ${a}_{r }$:

${a}_{r }=\frac{{\partial}^{2 }r}{\partial {t}^{2 }}+{\Gamma}^1_{1\ 1}\frac{\partial r}{\partial t}\frac{\partial r}{ \partial t}$+${\Gamma}^1_{1\ 2}\frac{\partial r}{\partial t}\frac{\partial\theta}{ \partial\ t}$$+ {\Gamma}^1_{1\ 3}\frac{\partial r}{\partial t}\frac{\partial\varphi}{ \partial\ t}$+etc (en total son (1) + 9 términos)

El caso es que me han dado los siguientes resultados:

$${a}_{ r}=\frac{{\partial}^{2 }r}{\partial {t}^{2 }}-r[\frac{d\theta}{dt }]^{2}-r\sin^{2}\theta[\frac{d\varphi}{dt }]^{2}$$

$${a}_{\theta}=\frac{{\partial}^{2 }\theta}{\partial {t}^{2 }}+\frac{2}{r }\frac{\mathrm{dr} }{\mathrm{dt} }\frac{\mathrm{d\theta} }{\mathrm{dt} }-\sin\theta\cos\theta[\frac{\mathrm{d\varphi} }{\mathrm{dt} }]^{2}$$

$${a}_{\varphi}=\frac{{\partial}^{2 }\varphi}{\partial {t}^{2 }}+\frac{2}{r }\frac{\mathrm{dr} }{\mathrm{dt} }\frac{\mathrm{d\varphi} }{\mathrm{dt} }+2\frac{\cos\theta}{\sin\theta }\frac{\mathrm{d\theta} }{\mathrm{dt} }\frac{\mathrm{d\varphi} }{\mathrm{dt} }$$

Pero no se si están bien, y lo que es peor, ¡¡¡NO SE INTERPRETARLOS!!

Así que bueno, necesito Help!!!
(*edito para corregir la ecuación de los (1) + 9 términos)