1r ciclo Movimiento de una particula

[Enrique Ortiz Martinez]

Describa el movimiento de una partícula de masa m a la que se aplica la fuerza:

$\vec{F}$ = ${F}_{0 }$ ${e}^{-\alpha t}$ $sen (\omega t)$ $\hat{\imath}$

la verdad nose como plantearla, pienso que es planearla como un oscilador armónico amortiguado pero nose como, me podrían ayudar a plantear el problema, de antemano gracias

[Alriga]

Re: Movimiento de una particula

$F=m \cdot a$

$F=m \cdot \dfrac{d^2 x}{dt^2}$

$F_0 \ e^{-\alpha t} \ sen (\omega t)=m \ \dfrac{d^2 x}{dt^2}$

Pasa la masa al otro lado de la igualdad e integra 2 veces para obtener la posición x(t)

Saludos.

[Al2000]

Re: Movimiento de una particula

...la verdad nose como plantearla, pienso que es planearla como un oscilador armónico amortiguado...

El movimiento no es oscilatorio, amigo Enrique, la partícula rápidamente adquiere una velocidad constante y nunca se devuelve. Resuelve el problema tal como te lo señala Alriga y podrás conseguir que una gráfica de la posición contra el tiempo es una línea ondulada que rápidamente (dependiendo de alfa) tiende a una recta.

Saludos,

$\mathcal A \ell$

[Alriga]

Re: Movimiento de una particula

... El movimiento no es oscilatorio, amigo Enrique, la partícula rápidamente adquiere una velocidad constante y nunca se devuelve ...

¿Como ha visto Al2000 eso? Observa que la aceleración es:

$a(t)=\dfrac{F_0}m \ e^{-\alpha t} \ sen (\omega t)$

Con $\alpha >0$ cuando aumenta el tiempo:

$\dst \lim_{t \to \infty} a(t)=\lim_{t \to \infty} \dfrac{F_0}m \ e^{-\alpha t} \ sen (\omega t)=0$

Es decir, la aceleración tiende a cero. Como la aceleración es la derivada de la velocidad, y la derivada de una constante es cero, la velocidad al aumentar el tiempo tenderá a ser constante, llamemos "p" a esa constante $\dst \lim_{t \to \infty} v(t)=p$

Finalmente, la derivada de la posición es la velocidad y ¿qué función tiene por derivada una constante distinta de cero? Pues una función lineal, por lo tanto, para tiempos lo suficientemente grandes la posición será asintótica a:

$\boxed{x(t) \approx p \cdot t +cte}$

Algo así como esto:



Saludos.

[Al2000]

Re: Movimiento de una particula

Si, algo muy parecido, sólo que la partícula nunca se devuelve...

[Breogan]

Re: Movimiento de una particula

Hola:

Describa el movimiento de una partícula de masa m a la que se aplica la fuerza:

$\vec{F}$ = ${F}_{0 }$ ${e}^{-\alpha t}$ $sen (\omega t)$ $\hat{\imath}$

Esto lo resolves aplicando lo que te indico Alriga.

$\dst \frac {dv(t)}{dt} =\frac {F_0}{m} \ e^{-\alpha t} \ sen (\omega t)$

$\dst v(t) = - \frac {F_0}{m} \ \ee^{- \alpha t} \ \frac {\alpha sin ( \omega t) + \omega cos ( \omega t)}{\alpha^2 + \omega^2} + C$

y si integras otra vez obtenes el desplazamiento en función del tiempo:

$\dst x(t) = \frac {F_0}{m} \ \ee^{- \alpha t} \ ...........$

No la completo por que es largo y tedioso, dejo el enlace de Wolfram:

http://www.wolframalpha.com/input/?i...%5E2)+%2B+C%7D

El movimiento no es oscilatorio, amigo Enrique, la partícula rápidamente adquiere una velocidad constante y nunca se devuelve. Resuelve el problema tal como te lo señala Alriga y podrás conseguir que una gráfica de la posición contra el tiempo es una línea ondulada que rápidamente (dependiendo de alfa) tiende a una recta.[/TEX]

Acá no estoy de acuerdo con Al, el desplazamiento tendrá distintas formas según sean los valores de los parámetros $\dst \alpha \ y \ \omega$ y de las condiciones iniciales, empezando que cuando $\dst \alpha =0$ se trata de un movimiento armónico simple, luego un movimiento oscilatorio amortiguado, etc. Creo!!!

s.e.u.o.

Suerte!

Ya que nadie cuestiona el desarrollo de mi mensaje anterior, voy a tratar de completar el análisis. Parto de la formula de velocidad:

$\dst v(t) = - \frac {F_0}{m} \ \ee^{- \alpha t} \ \frac {\alpha sin ( \omega t) + \omega cos ( \omega t)}{\alpha^2 + \omega^2} + C_1$

Podemos definir:

$\dst cos \phi = \frac {\alpha}{(\alpha^2 + \omega^2)^{1/2}} \quad y \quad sin \phi = \frac {\omega}{(\alpha^2 + \omega^2)^{1/2}}$

$\dst v(t) = - \frac {F_0}{m \ (\alpha^2 + \omega^2)^{1/2}} \ \ee^{- \alpha t} \ \left( cos \phi \ sin ( \omega t) + sin \phi \ cos ( \omega t) \right) + C_1$

y por identidades trigonométricas queda:

$\dst v(t) = - \frac {F_0}{m \ (\alpha^2 + \omega^2)^{1/2}} \ \ee^{- \alpha t} \ sin ( \omega t + \phi) + C_1$

En el instante inicial t=0 tenemos que:

$\dst v(t = 0) = v_0 = - \frac {F_0}{m \ (\alpha^2 + \omega^2)^{1/2}} \ sin ( \phi) + C_1$

reemplazando $\dst sin \phi = \frac {\omega}{(\alpha^2 + \omega^2)^{1/2}}$ y despejando queda:

$\dst C_1 = v_0 + \frac {F_0 \ \omega}{m \ (\alpha^2 + \omega^2)}$

El desplazamiento estará dado por:

$\dst x(t) = \int v(t) \ dt$

$\dst v(t) = \int \left( - \frac {F_0}{m \ (\alpha^2 + \omega^2)^{1/2}} \ \ee^{- \alpha t} \ sin ( \omega t + \phi) + C_1 \right) \ dt$

$\dst x(t) = \frac {F_0}{m \ (\alpha^2 + \omega^2)^{1/2}} \ \ee^{- \alpha t} \frac {\alpha sin (\omega t + \phi) + \omega cos ( \omega t + \phi)}{\alpha^2 + \omega^2} + C_1 \ t + C_2$

Aplicando las consideraciones e identidades trigonométricas usada anteriormente tenemos:

$\dst x(t) = \frac {F_0}{m \ (\alpha^2 + \omega^2)} \ \ee^{- \alpha t} [cos \phi sin (\omega t + \phi) + sin \phi cos ( \omega t + \phi)]] + C_1 \ t + C_2$

$\dst x(t) = \frac {F_0}{m \ (\alpha^2 + \omega^2)} \ \ee^{- \alpha t} sin (\omega t + 2 \phi) + C_1 \ t + C_2$

En el instante t=0 tenemos:

$\dst x(t = 0) = x_0 = \frac {F_0}{m \ (\alpha^2 + \omega^2)} \ sin (2 \phi) + C_2$

$\dst x_0 = \frac {F_0}{m \ (\alpha^2 + \omega^2)} \ 2 \ sin (\phi) cos (\phi)+ C_2$

$\dst x_0 = \frac {F_0}{m \ (\alpha^2 + \omega^2)} \ 2 \ \frac {\alpha}{(\alpha^2 + \omega^2)^{1/2}} \frac {\omega}{(\alpha^2 + \omega^2)^{1/2}}+ C_2$

$\dst x_0 = \frac {2 \ \alpha \ \omega F_0}{m \ (\alpha^2 + \omega^2)^2} + C_2$

$\dst C_2 = x_0 - \frac {2 \ \alpha \ \omega F_0}{m \ (\alpha^2 + \omega^2)^2}$

Por lo tanto las ecuaciones quedan:

$$\dst v(t) = - \frac {F_0}{m \ (\alpha^2 + \omega^2)^{1/2}} \ \ee^{- \alpha t} \ sin ( \omega t + \phi) + v_0 + \frac {F_0 \ \omega}{m \ (\alpha^2 + \omega^2)}$$

$$\dst x(t) = \frac {F_0}{m \ (\alpha^2 + \omega^2)} \ \left[ \ee^{- \alpha t} sin (\omega t + 2 \phi) + \omega \ t \right] + v_0 t + x_0 - \frac {2 \ \alpha \ \omega F_0}{m \ (\alpha^2 + \omega^2)^2}$$

Si no me equivoque al realizar alguna operación, a partir del análisis de la ecuación (2) para los pares de valores de $\alpha \ y \ \omega$ y los valores iniciales $x_0 \ y \ v_0$ se pueden ver las distintas formas de repuestas posibles.

s.e.u.o.

Suerte!!