1r ciclo Cinemática en coordenadas esféricas

[Visitante]

Buenos días,

En un ejercicio me piden calcular el vector velocidad y aceleración en coordenadas esféricas ¿Cómo se hace? He buscado en internet como en este documento que dejo adjunto, sin embargo, no entiendo el paso que hacen en la pag 5 ¿Por qué la derivada respecto al tiempo son las derivadas parciales? ¿Cómo ha llegado hasta esa expresión? Al principio de la pág 5.

[HanT]

Re: Cinemática en coordenadas esféricas

Se aplica la regla de la cadena. En cartesianas los vectores unitarios no varían con el tiempo, sin embargo como puedes observar por la definición $\vec{u_r}$, por ejemplo, depende de $\theta$ y $\phi$ que dependen a su vez del tiempo. Por tanto, si queremos la variación de de $\vec{u_r}$ con el tiempo no podemos derivar únicamente de forma parcial respecto al tiempo ya que obtendríamos que esa derivada es cero (cosa que no es cierta puesto que sabemos que sí depende del tiempo). Lo que se hace básicamente es que dada una función $f=f(\theta(t),\phi(t),t)$:

$\frac{df}{dt}=\frac{\partial f}{\partial \theta}\frac{d\theta}{dt}+\frac{\partial f}{\partial \phi}\frac{d\phi}{dt}+\frac{\partial f}{\partial t}$

En el caso propuesto no hay dependencia explícita del tiempo por lo que la última derivada parcial sería cero.

Edit: respecto a lo que sería la construcción del tiedro no me veo en condiciones de mejorar la explicación del documento por eso no te digo nada. Algo que tal vez te ayude a digerirlo es pensar que en esencia es trabajar con coordenadas polares y esféricas pero "escondiendo" la información en los vectores de la base en lugar de tener un cambio de coordenadas a secas.