1r ciclo Masa atada a un resorte en movimiento circular

[mahonry]

Hola amigos espero que me puedan ayudar con el siguiente problema de oscilaciones.

La cuestion es la siguiente tengo una masa atada a un resorte con constante K, la cual pude rotar libremente sin friccion.
Me dicen que la fuerza neta sobre la masa es

F=-k(r-a) donde r es el radio y a es la longitud natural del resorte.

Me piden la velocidad angular W0 que es requerida para una orbita circular con radio r0.

Lo que yo pensaba es que al momento de sacar el resorte de su posicion de equilibrio hasta r0 habra una fuerza restitutiva, dada como F=-k(r-a), y el radio se movera entre (r0-a)Cos(wt) donde w es la frecuencia natural del resorte, pero que ademas tengo que considerar una contribucion por la aceleracion centripeta, lo que hara que el resorte ya no regrese de nuevo a r0 si no que la amplitud disminuya. Tengo algunas ecuaciones, pero me gustaria que me dieran alguna idea sobre como podria atacar este problema.

[Richard R Richard]

Re: Masa atada a un resorte en movimiento circular

Lo que debes igualar es la fuerza del resorte sobre la masa, a la fuerza centripeta de rotacion

$F_c=m\omega^2 r_0=k(r_0-a)=F_r$

$\omega=\sqrt{\dfrac{k(r_0-a)}{m r_0}}$

el signo negativo solo sirve para indicar en que sentido se aplica la fuerza con respecto al sistema de referencia.

[mahonry]

Re: Masa atada a un resorte en movimiento circular

Eso fue lo primero que se me ocurrio, pero no entiendo el sentido fisico que tendria ya que segun yo, habria dos contribuciones que llevarian la masa hacia el centro de rotacion, una dada por la fuerza elastica del resorte y la otra porla acelaracion centripeta.

Te agradeceria mucho si pudieras explicarmelo.

[skynet]

Re: Masa atada a un resorte en movimiento circular

Eso fue lo primero que se me ocurrio, pero no entiendo el sentido fisico que tendria ya que segun yo, habria dos contribuciones que llevarian la masa hacia el centro de rotacion, una dada por la fuerza elastica del resorte y la otra porla acelaracion centripeta.

La fuerza centrípeta no es una nueva fuerza que aparece en el mov. cir. porque sí ... fíjate en que las fuerzas son causadas por interacciones, existe la interacción electromagnetica que produce la fuerza elástica del muelle, pero no hay ninguna interacción centrípeta, eso no existe.

Lo que pasa es que, para que exista mov. circ., la resultante de todas las fuerzas aplicadas debe de ser igual a una cantidad vectorial que, por convenio, llamamos fuerza centrípeta (quizás hubiese sido mejor llamarla de otro modo para evitar confusiones).

En este caso, solo hay una fuerza: la elastica, por lo tanto debe de ser igual a esa cantidad.

[arivasm]

Re: Masa atada a un resorte en movimiento circular

Lo que pasa es que, para que exista mov. circ., la resultante de todas las fuerzas aplicadas debe de ser igual a una cantidad vectorial que, por convenio, llamamos fuerza centrípeta (quizás hubiese sido mejor llamarla de otro modo para evitar confusiones).

Permitidme que sea un poco tiquismiquis.

La 2ª ley de Newton nos dice que la fuerza resultante es igual a masa por aceleración. Esta última conviene descomponerla en dos componentes: la tangencial, que da cuenta de las variaciones del módulo de la velocidad, y la centrípeta, que da cuenta de la existencia de curvatura en la trayectoria. Por tanto, siguiendo el mismo camino, multiplicándola por la masa, tenemos que conviene descomponer la fuerza resultante en dos componentes: la tangencial, que causará variaciones en el módulo de la velocidad, y la centrípeta, que originará curvatura en la trayectoria.

En definitiva, no es ningún convenio, sino una estrategia adecuada para la aplicación de la 2ª ley de Newton.

En un movimiento circular, uniforme o no, necesariamente la fuerza resultante deberá tener una componente centrípeta. Si, además, posee una componente tangencial entonces no será uniforme.

En este ejercicio hay una única fuerza, la elástica, que entonces será la resultante. Como además el enunciado plantea una trayectoria circular con centro en el extremo fijo del resorte, la fuerza resultante sólo tendrá componente centrípeta: el movimiento será circular uniforme y con la velocidad angular que indicó Richard.

Por supuesto, aunque éste es el caso más simple, en modo alguno es el único posible. Sin ir más lejos, el hecho de que en este caso la fuerza resultante siempre sea central estaremos ante un conjunto de posibilidades, siempre con trayectorias planas, pero no necesariamente circulares, como se sigue de la conservación del momento angular.

[mahonry]

Re: Masa atada a un resorte en movimiento circular

Antes que nada gracias por la explicacion, y si ahora me piden obtener la frecuencia de las pequeñas oscilaciones con respecto ala orbita circular de radio r0, como procedo?

[Alriga]

Re: Masa atada a un resorte en movimiento circular

Aplica la 2ª Ley de Newton $F=m \ a$

$-k \ \Big[r(t)-a \Big]=m \ \ddot r(t)$

$m \ddot r+k(r-a)=0$

La solución de la ecuación diferencial lineal de 2º orden de coeficientes constantes es:

$r(t)=a + c_1 \sin \sqrt{\dfrac k m} t+c_2 \cos \sqrt{\dfrac k m} t$

$\omega=2 \pi f=\sqrt{\dfrac k m}$

$f=\dfrac{1}{2 \pi}\sqrt{\dfrac k m}$

Saludos.

[Richard R Richard]

Re: Masa atada a un resorte en movimiento circular

Antes que nada gracias por la explicacion, y si ahora me piden obtener la frecuencia de las pequeñas oscilaciones con respecto ala orbita circular de radio r0, como procedo?

Solo quisiera agregar que si se componen ambos movimientos, la rotación como la oscilación, el nuevo punto de equilibrio de la oscilacion del resorte sería $r_0$ la ecuación diferencial de la oscilación en dirección radial se transformaría en

$r(t)=r_0 + c_1 \sin \sqrt{\dfrac k m} t+c_2 \cos \sqrt{\dfrac k m} t$

dependiendo de las condiciones posición y velocidades iniciales , o bien $c_1$ ó $c_2$ se los puede hacer nulo quedando una función sinusoide o cosinusoide pura.

y se ve claramente las frecuencias de oscilación y giro no tienen porque ser iguales, y se las puede escoger , multiplos o submultiplos una de otra para que la trayectoria sea muy curiosa, ya que no será circular desde el momento que el resorte oscile.


$x(t)= \left [r_0 + c_1 \sin\left ( \sqrt{\dfrac k m} t+\phi \right )\right ]\sin\left (\sqrt{\dfrac{k(r_0-a)}{m r_0}}t\right )$


$y(t)= \left [r_0 + c_1 \sin \left (\sqrt{\dfrac k m} t+\phi \right) \right ]\cos\left (\sqrt{\dfrac{k(r_0-a)}{m r_0}}t\right )$



$(r_0-a)N=r_o M$ con $N,M\in \mathbb N$ produciría dibujos muy curiosos.

[arivasm]

Re: Masa atada a un resorte en movimiento circular

He estado dándole vueltas a este ejercicio y creo que discrepo en la solución de la pregunta sobre la frecuencia de las oscilaciones de pequeña amplitud para $r$.

En primer lugar, si $r$ está oscilando la trayectoria ya no es circular, de manera que la fuerza que ejerce el resorte ya no es estrictamente centrípeta.

Aunque el ejercicio es más cómodo de abordar usando el formalismo propio de la mecánica teórica, procuraré enfocarlo de la manera newtoniana usual.

En primer lugar, se conserva el momento angular respecto del extremo fijo del resorte, lo que significa que

$$L=mr^2\omega$$

es una constante del movimiento. Por comodidad manejaré el momento angular por unidad de masa, que obviamente también es una constante del movimiento

$$l = \frac{L}{m}=r^2\omega=cte$$

Como la fuerza resultante es radial (que no centrípeta) hemos de manejar la expresión para la componente radial de la aceleración, es decir

$$m(\ddot r-r\omega^2)=-k(r-a)$$

Ahora bien, teniendo en cuenta (2), esto significa que

$$\ddot r-\frac{l^2}{r^3}=-\frac{k}{m}(r-a)$$

Planteemos que $r$ está oscilando alrededor del valor $r_0$, al que correspondería una velocidad angular

$$\dst\omega_0=\sqrt{\frac{k}{m}\frac{r_0-a}{r_0}}$$

tal como señaló Richard. Es decir, expresemos

$$r=r_0+\rho$$

con $\rho << r_0$.

Como

$$\frac{1}{r^3}\approx \frac{1}{r_0^3}-3\frac{\rho}{r_0^4}$$

(4) puede escribirse

$$\ddot \rho - \frac{l^2}{r_0^3}+3\frac{l^2}{r_0^4}\rho=-\frac{k}{m}(r_0-a+\rho)=-\frac{k}{m}(r_0-a)-\frac{k}{m}\rho$$

donde hemos tenido en cuenta que de (6) $\ddot r=\ddot \rho$

De este modo tenemos la ecuación diferencial

$$\ddot \rho +3\frac{l^2}{r_0^4}\rho=\frac{l^2}{r_0^3}-\frac{k}{m}(r_0-a)-\frac{k}{m}\rho$$

que por (2) y (5) pasa a ser:

$$\ddot \rho +3\omega_0^2\rho=-\frac{k}{m}\rho$$

es decir

$$\ddot \rho =-\left[3\omega_0^2+\frac{k}{m}\right]\rho$$

De donde resulta que la frecuencia de las oscilaciones será

$$f=\frac{1}{2\pi}\sqrt{3\omega_0^2+\frac{k}{m}}$$

Esto es

$\dst f=\frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{k}{m}\left(4-3\frac{a}{r_0}\right)}$

[Richard R Richard]

Re: Masa atada a un resorte en movimiento circular

Saludos arivasm, veo en que discrepas...

yo creo, que son dos formas diferentes de abordar el problema, y la elección no la resuelve el enunciado que se ha posteado....

en el planteo que hice, he mantenido la velocidad angular de giro constante, por lo que el momento angular no se conserva,

y tu planteo es exactamente lo contrario, se conserva el momento angular y la velocidad angular instantánea de giro debería quedar ligada a la posición radial en ese instante, de acuerdo a (2) $\omega(t)=\dfrac{L}{mr_{(t)}^2}$

[arivasm]

Re: Masa atada a un resorte en movimiento circular

en el planteo que hice, he mantenido la velocidad angular de giro constante, por lo que el momento angular no se conserva,

Pero al ser central la fuerza resultante, pues siempre está dirigida hacia el extremo fijo del resorte, el momento angular respecto a dicho punto debe conservarse.

Por otra parte, intuyo que la frecuencia de oscilación no debe ser la misma que la que habría si el sistema no rota.

En cualquier caso, muchas gracias por compartir conmigo el análisis de las discrepancias!

[Richard R Richard]

Re: Masa atada a un resorte en movimiento circular

Por otra parte, intuyo que la frecuencia de oscilación no debe ser la misma que la que habría si el sistema no rota.

No concuerdo en lo que dices en la frase de la cita...
No se si la siguiente analogía es valida para explicar mi punto de vista,

Si tenemos una masa suspendida de un resorte, y analizamos su frecuencia de oscilación, "creo, aunque con temor a equivocarme" , que esta es independiente de la aceleración de la gravedad reinante, a la vez k es independiente de la elongacion, por lo que por analogía podemos reemplazar la aceleración de la gravedad por la centrípeta y observar que el punto de equilibrio se desplaza en función de la velocidad angular de giro, pero la frecuencia de oscilación debería mantenerse independiente de esta.Lo que si es diferente en la analogia en que en una g es contante y en la otra depende del radio, por lo que intuyo que el punto el equilibrio no esta ubicado en la semisuma de los radios extremos.

Un sistema conservativo es el que propones, es decir la masa tiene una velocidad inicial y el resorte una elongación tal, y la evolución del sistema la libras a la conservación de la energía y el momento angular , por otro lado la solución que yo expuse debe ser motorizada, no se conserva ni la energía ni el momento angular para mantener la velocidad de giro constante, por lo que son dos planteos correctos de situaciones diferentes.



Saludos y gracias por compartir ideas, ya veremos si mahonry nos trae a debate como era la respuesta de su solucionario, o bien el enunciado entero.

[arivasm]

Re: Masa atada a un resorte en movimiento circular

Un sistema conservativo es el que propones, es decir la masa tiene una velocidad inicial y el resorte una elongación tal, y la evolución del sistema la libras a la conservación de la energía y el momento angular , por otro lado la solución que yo expuse debe ser motorizada, no se conserva ni la energía ni el momento angular para mantener la velocidad de giro constante, por lo que son dos planteos correctos de situaciones diferentes.

Entiendo lo que dices. Ciertamente el enunciado es la clave. Como siempre, es buena idea ponerlos completos, aunque tampoco son infrecuentes los casos (y el docente que esté libre de ese pecado que tire la primera piedra) en que la redacción de los mismos debe pasar por una "lectura del pensamiento" del profesor.

Concuerdo contigo en que "oscilaciones de pequeña amplitud" admite varias lecturas.

Es más, creo que incluso hay una tercera posibilidad: la velocidad angular se puede considerar casi constante, pero no porque sea forzada mediante alguna motorización, sino porque sus variaciones puedan ser despreciadas. Eso equivale, como se desprende de la conservación del momento angular, a que las variaciones de $r$ también pueden ser despreciadas, es decir, si no me equivoco, a que las oscilaciones sean de amplitud aún menor que las que condicionan la validez de la aproximación que usé en (7).

En tal caso, la 2ª ley de Newton sería $m(\ddot r-r\omega_0^2)=-k(r-a)$, cuya solución es un oscilador armónico de frecuencia

$\dst f = \frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{k}{m}+\omega_0^2}=\frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{k}{m}\left(2-\frac{a}{r_0}\right)}$

Usando tu invocación al principio de equivalencia, podemos graduar las tres aproximaciones de esta manera:

• Tu enfoque se corresponde con que $r$ varíe tan poco respecto de $r_0$ como para que en un sistema de referencia rotante con el resorte se aprecie un campo gravitatorio centrífugo y uniforme, de valor $r_0\omega_0^2$, cuyo efecto consistiría entonces en simplemente desplazar el punto de equilibrio desde $a$ hasta $r_0$. La frecuencia de las oscilaciones, siempre y cuando su amplitud sea lo suficientemente pequeña como para poder considerar aceptable que $r\omega^2\approx r_0\omega_0^2$ será $1/(2\pi)\sqrt{k/m}$. Por supuesto, una manera de forzar eso es motorizar el movimiento y restringir adecuadamente la oscilación de $r$ en torno de $r_0$. Pero en rigor, también valdría con tal de que las oscilaciones sean realmente pequeñas.
• Mi enfoque en el principio de este mensaje equivale a aceptar un campo gravitatorio centrífugo pero cuya intensidad aumenta linealmente hacia el exterior. Su efecto también consiste en desplazar el punto de equilibrio desde $a$ hasta $r_0$, pero ahora la frecuencia de las oscilaciones será diferente del caso anterior, $1/(2\pi)\sqrt{\omega_0^2+k/m}$
• Mi enfoque en el mensaje #9 equivale a algo más que un campo gravitatorio centrífugo, pues también posee componentes tangenciales, impuestas por el hecho de que la conservación del momento angular no sólo implica una alteración, que se aproxima como armónica, en los valores de $r$, sino también una (no armónica) en los valores de $\omega$. La frecuencia de las oscilaciones será $1/(2\pi)\sqrt{3\omega_0^2+k/m}$

Entiendo que la expresión "pequeña amplitud" tiene unos límites que van de menor a mayor en el orden expuesto. Y no me extrañaría nada que aún hubiese más posibilidades...

Cabe destacar que las tres expresiones son coincidentes si $\omega_0\to 0$ (es decir, si $r_0\approx a$), lo que quizá pueda servir también para marcar algún camino...

De todos modos, insisto, estaría bien leer qué dice exactamente el enunciado.