1r ciclo Problema de cinemática

[Venancio]

Un niño en la playa deja caer unpuñado de arena dentro del agua. El rozamiento entrela arena y el agua genera una fuerza viscosa opuestay proporcional a la velocidad (Fr= -kv, con k=2.5·10-4kg/s). Determinar v(t) y la velocidad límite con quecaen los granos de arena, de masa m=1.3·10-6 kg

Antes de nada decir que no sabía si poner este problema aquí o en el apartado de matemáticas, ya que me quedo atrancado en la parte matemática del ejercicio.

Para determinar v primero determino a. $F=-kv-mg=ma$ y, en consecuencia, $a=\frac{-kv}{m }-g$
Aplico $a=dv/dt$ y me queda $dt=dv/(-kv/m-g)$. Integro en ambos bandos y el problema viene aquí, que no sé como seguir la integral. No sé si lo he planteado mal o simplemente debería seguir la integral (de ser así, agradecería saber cómo)

Un saludo y gracias por leer!

[Alriga]

Re: Problema de cinemática

$F=m g-k v$

$m g-kv =m \dfrac {dv}{dt}$

$dt=\dfrac m{m g-k v}dv$

Integrando

$t=-\dfrac{m \ln(m g-k v)}k+cte$

Despeja la velocidad v y aplica v(0)=0

Saludos.

[Richard R Richard]

Re: Problema de cinemática

si $v_{(0)}=0 \mapsto cte=\dfrac{m \ln(m g)}k$

la velocidad limite la obtienes cuando has alcanzado la maxima velocidad es decir cuando la aceleracion es nula.

despejando la velocidad y reemplazando el valor de la constante de integracion

$v_{(t)}=\dfrac{mg}{k}\left[1-\ee^{-\frac{tk}{m}}\right]$

la aceleración es nula entonces cuando $\frac{\partial v}{\partial t}=0=g\ee^{-\frac{tk}{m}} \mapsto t=\infty$

y a tiempo infinito la velocidad es

$v=\dfrac{mg}{k}$

[Venancio]

Re: Problema de cinemática

Muchas gracias a los dos. Entiendo ahora como continuar después de la integral el problema, pero me podríais indicar como habéis resuelto la integral?
Un saludo

[Alriga]

Re: Problema de cinemática

... me podríais indicar como habéis resuelto la integral? ...

Haciendo el cambio de variable

$m g-k v=u$

$-k \ dv=du$

sale inmediatamente.

Saludos

[Venancio]

Re: Problema de cinemática

Perfecto, ya está. Por cierto, por qué se considera mg positivo? Pensaba que era -mg-kv (que acabaría quedando -mg+kv al ser v negativa)

[Richard R Richard]

Re: Problema de cinemática

El rozamiento se opone al movimiento de la arena y este es provocado por el peso, por lo tanto ambos signos son opuestos no importa el sistema de referencia que escojas. El enunciado elije fuerzas positivas en direccion hacia la tierra o descendiendo si prefieres

[Venancio]

Re: Problema de cinemática

El rozamiento se opone al movimiento de la arena y este es provocado por el peso, por lo tanto ambos signos son opuestos no importa el sistema de referencia que escojas. El enunciado elije fuerzas positivas en direccion hacia la tierra o descendiendo si prefieres

Entendido, gracias.

Cuando integro y obtengo el resultado, que es $t=-\dfrac{m \ln(m g-k v)}k+cte$, aíslo v pero me da diferente del resultado correcto.
$\frac{-(t-c)*k}{m }=ln(mg-kv)$

$mg-kv={e}^{ -k*(t-c)/m}$ y

$v=\frac{{-e}^{ -k*(t-c)/m) }}{k }+\frac{mg}{k}$

Creo que se ve clara la ecuación, no estoy muy familiarizado con las herramientas del foro. Agradecería que me señalárais donde está el error, nunca había visto un procedimiento parecido

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[Richard R Richard]

Re: Problema de cinemática

$$t=-\dfrac{m \ln(m g-k v)}k+cte$$

para $t=0$ y $v=0$

$$0=-\dfrac{m \ln(m g-k 0)}k+cte$$

de donde

$$cte=\dfrac{m \ln(m g)}k$$

reemplazando 2 en 1

$$t=-\dfrac{m \ln(m g-k v)}k+\dfrac{m \ln(m g)}k$$

cambio de signo

$$-t=+\dfrac{m \ln(m g-k v)}k-\dfrac{m \ln(m g)}k$$

factor comun

$$-t=+\dfrac{m }k\left[\ln(m g-k v)- \ln(m g)\right]$$

propiedad de logaritmos

$$-t=+\dfrac{m }k\left[\ln(\dfrac{m g-k v}{m g}\right]$$

pasaje de terminos

$$-\dfrac{k t}m=\ln\left(\dfrac{m g-k v}{m g}\right)$$

elevando a e en ambos miembros

$$\ee^{-\frac{k t}m}=\dfrac{m g-k v}{m g}=1-\dfrac{k v}{m g}$$

pasando miembrps

$$\dfrac{k v}{m g}=1-\ee^{-\frac{k t}m}$$

despejando v

$$v=\dfrac{m g}{k }\left(1-\ee^{-\frac{k t}m}\right)$$

saludos

[Venancio]

Re: Problema de cinemática

Muchas gracias. Claro todo!