Secundaria Obtener la ecuación de trayectoria dada la velocidad y la posición en t=1.

[asa5]

Tengo problemas con este ejercicio y no tengo ni idea de por dónde empezar.

La velocidad de una partícula que se mueve en el plano XY viene dada por la ec. v=(4t-1)i + 2j
Se conoce que en el instante t = 1 la partícula en r = 3i+4j
Obtenga la ec. de la trayectoria.

Gracias de antemano y lamento las molestias.

[arivasm]

Re: Obtener la ecuación de trayectoria dada la velocidad y la posición en t=1.

Integra la velocidad respecto del tiempo y usa la posición $\vec r(t=1)$ para determinar la constante vectorial de integración.

[skynet]

Re: Obtener la ecuación de trayectoria dada la velocidad y la posición en t=1.

1 - haz la integral de v respecto al tiempo y obtendrás el vector de posición
2 - sustituye t=1 en el vector de posicion e iguala sus compoenetes a 3 y a 4 para depejar las consatntes de integracion
3 - obtendrás dos expresiones en funcion de t una por cada componente, la de la componente i igualala a x y la de la j igualala a y ......despeja t en una de ellas y sustituyelo en la otra, eliminando t, el resultado es la ecuacion de la trayectoria

[asa5]

Re: Obtener la ecuación de trayectoria dada la velocidad y la posición en t=1.

Gracias a ambos, así he hecho y no me cuadra una cosa: el resultado de la integración es (2t^2 - t)*i + 2t*j. Cuando sustituyo por t = 1, el vector de posición es distinto al del enunciado, por tanto la partícula no podría estar en r = 3i+4j.
No tengo ni idea de dónde he metido la pata.

Edito: acabo de darme cuenta de que he metido la pata profundamente al olvidarme de las constantes de integración.

[franco_c2]

Re: Obtener la ecuación de trayectoria dada la velocidad y la posición en t=1.

Te estas olvidando de las constantes de integración, una para cada componente del vector. Relee el punto 2) de skynet

[Alriga]

Re: Obtener la ecuación de trayectoria dada la velocidad y la posición en t=1.

En efecto,

Te estas olvidando de las constantes de integración, una para cada componente del vector. Relee el punto 2) de skynet

$\bold v=(4t-1)\bold i+2\bold j$

$\bold v=\dfrac{d\bold r}{dt}$

$d\bold r=\bold v \ dt$

$\dst \bold r=\int \Big [(4t-1)\bold i+2\bold j \Big ]dt$

$\dst \bold r=\int (4t-1)\bold i dt+\int 2\bold jdt$

$\dst \bold r=(2t^2-t+c_1)\bold i+(2t+c_2)\bold j$

$\bold r(1)=(1+c_1)\bold i+(2+c_2)\bold j=3\bold i+4\bold j$

$1+c_1=3$

$2+c_2=4$

$c_1=2$

$c_2=2$

$\bold r(t)=(2t^2-t+2)\bold i+(2t+2)\bold j$

Saludos.

[Al2000]

Re: Obtener la ecuación de trayectoria dada la velocidad y la posición en t=1.

Mi versión, por lo que pueda valer...

$$\boldsymbol v_{(t)} = \left (\begin{matrix} 4 t - 1 \\ 2 \end{matrix}\right )$$

$$\boldsymbol r_{(t)} = \boldsymbol r_{(1)} + \int_{1}^{t}\!\! \boldsymbol v_{(t)}\, dt = \left (\begin{matrix} 3 \\ 4 \end{matrix}\right ) + \left (\begin{matrix} 2 t^2 - t \\ 2 t \end{matrix}\right ) - \left (\begin{matrix} 1 \\ 2 \end{matrix}\right ) = \left (\begin{matrix} 2 \\ 2 \end{matrix}\right ) + \left (\begin{matrix} 2 t^2 - t \\ 2 t \end{matrix}\right )$$

$\boldsymbol r_{(t)}$ es la ecuación paramétrica de la trayectoria. Por tratarse de un movimiento en el plano XY y por ser de nivel de bachillerato, estimo que lo siguiente sería hallar $y_{(x)}$ tal como lo puntualiza skinet en su mensaje.

Saludos,

$\mathcal A \ell$