1r ciclo Disco roto (ímpetu angular)

[franco_c2]

Del borde de un disco de masa $M$, radio $R$ y velocidad angular ${\omega}_{0}$, se rompe en cierto momento un trozo de masa $m$, de modo que el trozo se eleva verticalmente sobre el punto en que se rompió. ¿A qué altura de ese punto llegará antes de que comience a caer? ¿Cuál es la velocidad angular final del disco roto?



Primero que nada, a mi entender, el punto donde el trozo se desprende es a cero grado desde la horizontal (si se desprendiera en el punto más alto, como en la figura, el trozo tomaría una dirección horizontal y no vertical).
Para obtener la velocidad del trozo se me ocurre usar la conservación del ímpetu angular

$<br /> \dst\frac{1}{2}M{R}^{2}{\omega}_{0} = mvR + \frac{1}{2}(M-m){R}^{2}\omega$

$mvR$ sería el ímpetu angular del trozo que se lo trataría como a una partícula, en el segundo miembro no estoy seguro de que sea de esa forma el momento de inercia del disco roto, y si lo fuera, de todas formas tendría dos incógnitas y no estoy seguro de si se las puede relacionar con $v=\omega R$

¿Está bien el momento de inercia? ¿Qué otra ecuación me falta?

[skynet]

Re: Disco roto (ímpetu angular)

la velocidad de salida del trozo es directamente $v=w_0 R$ ... sin más, es la velocidad a la que va el trozo justo en el momento en el que se desprende.

la velocidad del disco roto no cambia, seguirá siendo $w_0$, ya que conserva el momento angular que tiene justo después de perder el trozo ... justo después de perder el trozo su velocidad será $w_0$ y tendrá una momento de inercia diferente $I_2$ y como el momento angular se conserva y el momento de inercia ya no va a cambiar, la velocidad permanecerá constante

considera que el disco está formado por dos partes: A=disco roto, B=trozo

cuando están unidas el momento angular será igual al momento angular de A mas el momento angular de B ... y cuando se separan, sus respectivos momentos angulares no cambian por lo que no cambia ni $v$ ni $w_0$

[franco_c2]

Re: Disco roto (ímpetu angular)

Bien. Si es así entonces la velocidad del trozo me da $v=\dst\frac{M R {\omega}_{0}}{M+m}$ pero en el libro me da que es $v=R{\omega}_{0}$
Entonces el error estaría en el momento de inercia del disco roto

[skynet]

Re: Disco roto (ímpetu angular)

Bien. Si es así entonces la velocidad del trozo me da $v=\dst\frac{M R {\omega}_{0}}{M+m}$ pero en el libro me da que es $v=R{\omega}_{0}$
Entonces el error estaría en el momento de inercia del disco roto

ya te he dicho que la velocidad de salida del trozo es directamente

[franco_c2]

Re: Disco roto (ímpetu angular)

Sí, lo sé! Al momento de comentar ya me habías respondido.

Ya entendí! Con ese razonamiento no hace falta plantear la ecuación de conservación del momento angular. De todas formas, el momento de inercia del disco roto sería $\left( \dst\frac{1}{2}M-m \right){R}^{2}$ que ahora que lo pienso es bastante obvio; el momento de inercia del disco completo menos el momento de inercia de la partícula de masa $m$ en el borde.

Saludos!

[skynet]

Re: Disco roto (ímpetu angular)

sí, es correcto

[Richard R Richard]

Re: Disco roto (ímpetu angular)

¿A qué altura de ese punto llegará antes de que comience a caer?

...... el punto donde el trozo se desprende es a cero grado desde la horizontal

solo una acotación, para que el trozo se eleve verticalmente debe romperse justo cuando su velocidad es $\vec v=\omega_0 R \vec j$ es decir debe desprenderse a la altura del eje de giro.

y usar la ecuación de cinemática para establecer la altura máxima

$\Delta h=\dfrac{v^2}{2g}=\dfrac{\omega_0^2 R^2}{2g}$