Olimpiada Energía potencial de una distribución de masa continua y esférica

[Syik]

Buenas. Echando un vistazo a los problemas de la IPhO, me he encontrado con el primero del examen de este año, 2017 y mi duda viene por lo siguiente:
El problema nos hace suponer que un cluster de galaxias de masa total M (incluyendo materia oscura) está distribuida de forma homogénea en una esfera de radio R, y el primer apartado dice que asumiendo una distribución continua de la masa en el cluster, hallar la energía potencial gravitatoria total del cluster en función de M y R.

La solución que se plantea (en el documento que contiene las respuestas) es definir la energía potencial del cluster de la siguiente manera:

$\dst dU=-G\frac{M(r)}{r}dm$

De manera que $M(r)=\frac{4}{3 }$$\pi{r}^{ 3}\rho$ y $dm=4\pi{r}^{2}\rho$. Sustituyendo e integrando desde 0 a R (lo siento, pero no encuentro donde poner los límites de integración ):

$\dst U=-\int G\frac{4\pi{r}^{3 }\rho}{3r}4\pi{r}^{2}\rho dr$

$\dst U=-\frac{16}{3 }G{\pi}^{2}{\rho}^{2}\int {r}^{4}dr$

$\dst U=-\frac{16}{15}G{\pi}^{2}{\rho}^{2}{R}^{5}$

Y utilizando la masa total del sistema, $M(r)=\frac{4}{3 }$$\pi{R}^{ 3}\rho$:

$\dst U=-\frac{3}{5}\frac{G{M}^{2}}{R}$

Lo que yo he hecho es utilizar la definición de energía potencial de un sistema como aquel trabajo necesario para formar una configuración de masa desplazándola desde el infinito hasta su posición. Voy a dar la demostración por aquí en un momento. Si tenemos 3 partículas la energía que nos costará traerlas desde el infinito hasta su lugar es:

$\dst U=-G\frac{{m}_{1}{m}_{2}}{{r}_{12}}-G\frac{{m}_{1}{m}_{3}}{{r}_{13}}-G\frac{{m}_{2}{m}_{3}}{{r}_{23}}$

Ya que colocar la primera masa no tiene costo de energía, para colocar la segunda tenemos que tener en cuenta la energía que cuesta traerla en presencia de la primera, y para la tercera, en presencia de la primera y la segunda. Así podemos generalizar esto y escribir:

$\dst U=\frac{1}{2}\sum_{i}\sum_{j}-G\frac{{m}_{i}{m}_{j}}{{r}_{ij}} /i\neq j$

El un medio debido a que con el sumatorio en i y en j, cada producto aparece dos veces. Cómo $-G\frac{{m}_{i}}{{r}_{ij}}={V}_{j}$, podemos escribir:

$\dst U=\frac{1}{2}\sum_{j}{V}_{j}{m}_{j}$

Que para un sistema de masa continuo se transforma en:

$\dst dU=\frac{1}{2}Vdm$

$\dst U=\frac{1}{2}\int Vdm$

El potencial interior de una esfera es $V=-\frac{GM}{2R}(3-\frac{{r}^{2}}{{R}^{2}})$
Según nuestra expresión, la energía potencial debería de ser:

$\dst U=\frac{1}{2}\int -\frac{GM}{2R}(3-\frac{{r}^{2}}{{R}^{2}})dm$

$\dst U=\frac{1}{2}\int -\frac{GM}{2R}(3-\frac{{r}^{2}}{{R}^{2}})4\pi {r}^{2}\rho dr$ (entre 0 y R)

$\dst U=-\frac{1}{2} \frac{4\pi GM\rho}{2R}\int (3{r}^{2}-\frac{{r}^{4}}{{R}^{2}})dr$

$\dst U=-\frac{1}{2} \frac{4\pi GM\rho}{2R} ({R}^{3}-\frac{{R}^{3}}{5})$

$\dst U=-\frac{16\pi GM{R}^{3}\rho}{20R}$

Donde utilizando el valor de la masa total, $M(r)=\frac{4}{3 }$$\pi{R}^{ 3}\rho$ podríamos escribir:

$\dst U=-\frac{12 G{M}^{2}}{20R}$

$\dst U=-\frac{3}{5}\frac{ G{M}^{2}}{R}$

Es decir, que se obtiene el mismo resultado, pero... ¿por qué la expresión $dU=-G\frac{M(r)}{r}dm$ es válida?, y, ¿es una expresión general o solo en este caso concreto?
Aquí dejo los enlaces del problema:
https://drive.google.com/file/d/0B-3...d2SnJHTHc/view
https://drive.google.com/file/d/0B-3...5qc25JbHc/view

[arivasm]

Re: Energía potencial de una distribución de masa continua y esférica

¿por qué la expresión $dU=-G\frac{M(r)}{r}dm$ es válida?, y, ¿es una expresión general o solo en este caso concreto?

Como bien has dicho, puedes utilizar la definición de energía potencial de un sistema como aquel trabajo necesario para formar una configuración de masa desplazándola desde el infinito hasta su posición. En este caso lo que han planteado es construirla "poco a poco", como si se tratase de una cebolla: cada capa que añades, de masa $\dd m$, se sitúa como un casquete de grosor $\dd r$, sobre una esfera preexistente de masa $M(r)$ y radio $r$. Como sabes, el campo que origina dicha esfera es igual al que originaría esa masa concentrada en el centro, con lo que la energía potencial de la interacción entre la capa y la masa equivale a la de la interacción entre la capa $\dd m$ y una masa puntual $M(r)$ situada en el centro. Puesto que todos los puntos de la capa están a la misma distancia $r$ del centro, la energía potencial es exactamente la misma que si tuviésemos dos masas puntuales, $\dd m$ y $M(r)$ separadas una distancia $r$: $-G\dfrac{M(r)\dd m}{r}$

No es una expresión general, aunque en esencia hace uso de una que sí lo es: $U=-G\dfrac{M_1M_2}{r}$

[Alriga]

Re: Energía potencial de una distribución de masa continua y esférica

... ¿por qué la expresión $dU=-G\frac{M(r)}{r}dm$ es válida?, y, ¿es una expresión general o solo en este caso concreto?

La respuesta a tu pregunta ya te la ha dado arivasm mi aportación es para que veas que coincide con lo que explica la Wikipedia en la entrada Energía de enlace gravitacional en donde dice: "La energía de enlace gravitacional de una esfera con radio R se calcula imaginando que se van separando sucesivos caparazones esféricos que se mueven hasta el infinito, el más externo primero y encontrando la energía total necesaria para ello"

Tal vez también te interese echar un vistazo a este post, en donde usé la expresión de la Energía de Cohesión Gravitacional: http://forum.lawebdefisica.com/threa...837#post170837

Saludos.