1r ciclo Regulador Centrífugo Ejercicio

[iaanmartinez]

Buenas.
El regulador centrífugo está instalado en un eje vertical O-O. Conforme aumenta la velocidad del árbol N, el radio de rotación de las bolas de 1,5 kg tiende a aumentar y el anillo B eleva la masa A. Hallar el valor estacionario de B (Betha) para una velocidad de rotación de 150 rpm. Despreciar la masa de los brazos y el anillo. La respuesta es Betha=22,5°

Bueno este problema me lo tomaron en un exámen y no llegue a ninguna ecuación en función del ángulo. Aclaro que este problema debería resolverlo con conceptos básicos de física, es decir, momento, equilibrio entre fuerzas externas y etc (Lo digo porque he visto que lo resuelven por Lagrange, pero nisiquiera se que es eso). Bueno en principio tome diagrama de cuerpo libre de las barras pero no llego a nada. Tengo claro lo siguiente: al estar el sistema estacionario la fuerza que ejerce el anillo B debe ser igual al peso de A
Agradecería ayuda, creo que estoy muy oxidado con el tema de los momentos que es por donde vería encararlo. Saudos

[arivasm]

Re: Regulador Centrífugo Ejercicio

No es un problema de momentos, sino de la 2ª ley de Newton. Cada bola describe un movimiento circular uniforme, luego la fuerza resultante que actúa sobre ella está dirigida hacia el centro de la circunferencia que describe (entonces horizontalmente) y su valor es $F=mr\omega^2$, siendo $r$ el radio de la misma, que es la distancia al eje. Llamando $l=150 {\rm mm}$, será $r=l\sin\beta$

Sobre la bola actúan dos fuerzas: su peso, $mg$, que es vertical, y la fuerza $T$ que ejerce la barra que formará un ángulo $\beta$ con la vertical. La suma de ambas debe ser la resultante anterior.

Dejo para ti que intentes lo que queda y nos cuentas.

[iaanmartinez]

Re: Regulador Centrífugo Ejercicio

Tiene sentido! Ahora lo intento y te comento. Muchas gracias!

[Richard R Richard]

Re: Regulador Centrífugo Ejercicio

Solo colaboro con unos detalles, al parecer el anclaje del brazo móvil esta ubicado a 25 mm del eje de giro por lo que el radio al que se ubica cada bola es

$r=25mm+l\sin\beta$

Creo que tambien debes plantear el equilibrio de momentos de la barra de longitud l, (es conveniente hacerlo en el punto de vinculo de la articulación , te simplifica los calculos )pues como observaste que a 100 mm esta solicitada por el peso de la masa central de 9 kg de masa, que por simetria , el angulo con el cual transmite el peso tambien es beta.

[arivasm]

Re: Regulador Centrífugo Ejercicio

Tienes razón, Richard. Olvidé sumar el radio de la pieza en la que se encuentra el anclaje.

[animex017]

Re: Regulador Centrífugo Ejercicio

Estas en lo incorrecto, si bien tu explicacion parece logica no lo es, esta obviando todos los datos incluso el mismo dibujo. Sobre la bola actuan tres fuerzas(A, T y Peso) no sirve de nada las fuerzas en este problema, tienes que calcular el momento exacto de dicha velocidad para sacar el radio. El angulo se sacaria con trigonometria con pitagoras para ser preciso. Porque? Se tiene el valor del brazo, solo falta un cateto y se puede calcular el angulo.

[iaanmartinez]

Re: Regulador Centrífugo Ejercicio

anime no entiendo lo que dices, me explicas por favor. Richard gracias por el aporte, sigo estancado, a ver si mañana lo completo un poco más y subo lo que plantie

[animex017]

Re: Regulador Centrífugo Ejercicio

Trabajar con fuerzas (Suma, resta, producto, etc) en este problema no sirve de nada. Obviaste todos los datos que dieron e incluso la imagen, si bien colocaste la ecuacion de fuerza centrifuga, esta mal planteada, esa ecuacion solo seria util si las unicas fuerzas seria la bola(peso) y la tencion del radio como tu dijiste, pero este no es el caso. Sin contar que la segunda ecuacion que planteaste no tiene como igualarla o sustituirla con la fuerza de la primer ecuacion. Tendrias que igularla/sustituirla por el radio para despejar la fuerza y recien saber el redio que es lo que necesitas.

PD: Suponiendo que este problema no tubiera el peso A, tu planteamiento tampoco seria el mas optimo, ya que muchas veces en los examenes no hay tanto tiempo como nos gustaria. Y la suma de esas dos fuerzas solo darian 0 por la ley de accion y reaccion, con respecto a (x) y en (y) la fuerza resultante no daria nada relevante (la fuerza con la que la bola sube).

[arivasm]

Re: Regulador Centrífugo Ejercicio

Antes de nada, como hay estudiantes que leen estos hilos, voy a comentar un par de cosas de este último mensaje, por si más gente tiene estos mismos errores.

Trabajar con fuerzas (Suma, resta, producto, etc) en este problema no sirve de nada.

Véase el final de este mensaje.

...si bien colocaste la ecuacion de fuerza centrifuga

Recordemos que la fuerza centrífuga es una fuerza ficticia y que estas últimas sólo deben introducirse en el caso de que se recurra a un sistema de referencia no inercial. Lo más sencillo es, por supuesto recurrir a uno inercial y aplicar la 2ª ley de Newton a las fuerzas ("reales") presentes en el problema.

la segunda ecuacion que planteaste no tiene como igualarla o sustituirla con la fuerza de la primer ecuacion. Tendrias que igularla/sustituirla por el radio para despejar la fuerza y recien saber el redio que es lo que necesitas.

Veremos que tan sólo es cuestión de que tenemos dos ecuaciones y dos incógnitas...

Y la suma de esas dos fuerzas solo darian 0 por la ley de accion y reaccion

Éste es el error de concepto que más me duele a la vista: recordemos qué dice la ley de acción y reacción. Si un cuerpo A ejerce una fuerza sobre otro B, entonces B ejerce sobre A una igual y de sentido opuesto.

La segunda ley de Newton nos dice que la suma de las fuerzas que actúan sobre un cuerpo es igual al producto de su masa por su aceleración. Por tanto, si aplico esta última a B cualquier otra fuerza que se ejerza sobre otro cuerpo, como por ejemplo, la que éste ejerce sobre A simplemente no cuentan.

Es como si yo dijese: "sobre este florero actúan su peso, la normal y la fuerza que mi primo está ejerciendo sobre la maleta que arrastra en este momento"



Como dije en mi primer mensaje, sobre cada bola actúan dos fuerzas: su peso, $mg$, que es vertical y la que ejerce la barra, que llamaré $T$ que forma un ángulo $\beta$ con la vertical. Como la aceleración es horizontal y de valor $a=r\omega^2$, donde $r=r_0+l\sin\beta$, como bien indicó Richard, aplicando la 2ª ley de Newton y tomando componentes horizontales y verticales

$mg=T\cos\beta$
$T\sin\beta=mr\omega^2$

Puesto que tenemos dos incógnitas, $T$ y $\beta$, podemos despejar la primera en la primera ecuación y substituir en la segunda, con lo que queda

$mg\tan\beta=mr\omega^2$

Es decir

$mg\tan\beta=m(r_0+l\sin\beta)\omega^2$

Con lo que la ecuación a resolver es

$g\tan\beta=(r_0+l\sin\beta)\omega^2$

Observemos que en el caso particular $r_0=0$ tendríamos una ecuación de primer grado en el coseno. Como no es el caso, la manera más sencilla de hacerlo es mediante un método numérico. Elevando todo al cuadrado y manejando el seno del ángulo nos resultará una ecuación de cuarto grado en la que deberemos discriminar qué soluciones hemos introducido de manera espúrea al elevar al cuadrado.

Con $r_0=0,025\ {\rm m}$, $l=0,15\ {\rm m}$, $\omega=5\pi\ {\rm rad/s}$ encuentro que $\sin\beta=0.9741$ y entonces $\beta=76,9\º$

Como no coincide con la del solucionario, procedo a comprobar a qué rpm debería girar el sistema para que fuese $\beta=22,5\º$. Puesto que

$\dst\omega^2=\dfrac{g\tan\beta}{r_0+l\sin\beta}$

al substituir los valores anteriores resulta $\omega=7,02\ {\rm rad/s}$, es decir, 67 rpm.

Por tanto, o se me ha pasado por alto alguna cosa (como me pasó al principio), o he tenido un error de cálculo, o la solución no está bien.

[Richard R Richard]

Re: Regulador Centrífugo Ejercicio

Gracias Arivasm , me has ahorrado un largo discurso, y como siempre claro y entendible lo suyo,

Por otro lado entiendo que lo que no has visto es que hay otra masa de 9 kg centrada en el eje de giro que aplica su peso a los 100 mm de longitud desde el anclaje, pues no has usado ningún subíndice para diferenciar la de la masa de las esferas.

Voy a ver si me sale, yo ya había empezado a escribir mis ecuaciones, y llamo $T_1$ a la tension de la barra inferior y $T_2$ a la tension de la superior donde se anclan las esferas.

si analizamos la solicitación en la horizontal de la barra de longitud l o subindice 2

$$-T_1\sin\beta+m_2\omega^2(25mm+l\sin\beta)=0$$

en la vertical como tengo dos brazos cada uno soporta la mitas del peso de la masa 1

$$\dfrac {m_1}2g-T_1\cos\beta =0$$

de donde

$$T_1=\dfrac{m_1g}{2\cos\beta}<br />$$

reemplazando en la 1

$$\dfrac{m_1g}{2\cos\beta}\sin\beta =m_2\omega^2(25mm+l\sin\beta)$$

y usando que

$$\cos\beta=\sqrt{1-\sin^2\beta}$$

se arriba a una cuadrática que no he resuelto , pero espero llegue al resultado del solucionario.

Pd las componentes verticales de la barra 2 y las horizontales de 1 son equilibradas por las reacciones de vinculo.(que intuyo debo incluir pero no estoy seguro)

y resuelto de este modo no es necesario usar momentos, y si lo será, si quiero saber los módulos de las reacciones vinculo.

[Breogan]

Re: Regulador Centrífugo Ejercicio

Hola:

No hice el problema , pero creo que el error de arivasm, es suponer que la dirección de la tensión T coincide con el eje longitudinal de la barra que la ejerce.
Me parece que como la barra es solidaria con la bola, no se puede descartar a priori que T tenga una componente normal a ella. Resultando que las siguientes expresiónes:

$mg=T\cos\beta \quad y \quad m \ \omega^2 \ r = T sen \beta$

deban ser planteadas agregando una nueva incognita $\theta$, quedando:

$mg=T\cos\theta \quad y \quad m \ \omega^2 \ r = T sen \theta$

Luego el momento generado por la componente de T normal a la barra superior, debe ser equilibrado por el momento producido por la tensión en la barra inferior que si tendrá la dirección de esta (por los vinculos rotatorios) y tambien dependera de la masa inferior.

Creo!!!

s.e.u.o.

Suerte!

- - - Actualizado - - -

Hola:

Para solucionar este problema lo mejor, en mi opinion, es partir del diagrama de cuerpo libre.
Aca espongo mi correspondiente diagrama, que espero que este bien:

s.e.u.o.

Suerte!

[iaanmartinez]

Re: Regulador Centrífugo Ejercicio

Bueno, leyendo y releyendo lo que todos plantean, intente llevarlo a la cuadricula.
En primer lugar destaco que el radio total de giro al eje vertical (de la esfera), creo que en realidad es 25+100*sen(B)+50*sen(B) (Se estaban olvidando de ese pequeño radio que le da el hecho de que la articulación a la esfera este girada un ángulo Betha.
Siendo que eso no es lo importante pase a querer interpretar el problema en sí, y como se comportaban las articulaciones ante la solicitación, bueno, en un momento trate de desplazar las fuerzas punto a punto y poniendo el momento que generaban y luego me di cuenta de que por ser articulaciones, estos vínculos no transmiten esfuerzo de momento.

Bien, siguiendo con el planteo hice lo que hizo arivasm, que me parecía correcto, hacer el DCL de la esfera y en función de que la resultante es la Fuerza Centripeta despejar el ángulo, pero ocurre que: (1) En la ecuación no se involucra la masa M que esta colocada sobre el anillo B y (2)usando la solución del libro la igualdad de la ecuación no daba.

De ahí entonces que intente descomponer fuerza a fuerza (es decir acción - reacción) en los brazos, algo parecido a lo que propone Breogan, pero no tuve en cuenta lo que él dice (que en cierto sentido tiene lógica), que es que la tensión no necesariamente estará colineal con la barra de anclaje.

Bueno, respecto a lo que Richard hizo en su último post sinceramente no entendí cómo pudo mezclar las tensiones con ambas masas (es un defecto que tengo, que al no ver un gráfico me nublo y no sé de donde saca las ecuaciones, jaja).

Así que ahora estaba con esto último que propone Breogan, pero no sé como plantear ese equilibrio de momento en la barra de longitud l. (Respecto a esto aclaro que por simetría de la "estructura), lo que llamas R1v y R3V son iguales y de mismo sentido y R1H y R3H son iguales y de sentido opesto).

Sin más, y a la espera de que alguien aporte algo más, saludo y de verdad agradezco su tiempo, espero podamos resolverlo

[animex017]

Re: Regulador Centrífugo Ejercicio

Si la idea era agobiar a los que estuvieran leyendo creo que lo consguiste jaja, para no seguir hasta el infinito resumire, si bien es necesario dos ecuaciones con dos incognitas para poder resolver un sistema de ecuaciones, es fundamental acostumbrarse a sacar solo los datos que nos piden (hasta obligatorio diria). Pasa lo mismo con las operaciones con fuerzas si bien es posible resolverlo con este metodo hasta incluso hacerlo con determinantes, no es recomendable porque es muy facil cometer errores.

Y el concepto que te hizo doler la vista lo interpretaste mal, el sistema claramente era la bola y el brazo. Si se quisiera tomar como referencia el eje y la bola, se tendria que hacer con torque o momento de la fuerza.
Y con esa afirmacion que haces de la segunda ley de newton esta fatal, la misma frase es incoherente: La segunda ley de Newton nos dice que la suma de las fuerzas que actúan sobre un cuerpo es igual al producto de su masa por su aceleración. Los cuerpos solo tiene una masa, supongo que te confundiste con cantidad de movimiento.

Me voy a tirar un triple: Si se traza una linea horizontal(r) al punto de apayo del brazo y una vertical(h) hasta el centro de masa, se coloca:

cos(alfa) = h/150
F = (mrw^2)*cos(alfa)
F*h - F(h-(cos(alfa)*50))

Nose si estara bien, mi unica duda es el planteamiento de la tercera ecuacion, nunca hice un problema con torque con una fuerza de este estilo, se que en la segunda ec a la fuerza le falta restar la fuerza de A pero sinceramente no se como, incluyendo que me falta una ec para r.

[Richard R Richard]

Re: Regulador Centrífugo Ejercicio

Voy a intentar dar solución, siguiendo el DCL de Broegan con su nomenclatura.

Aclaro que no me sirvo de utilizar $T_1$ ya que la masa m esta unida a la barra y que $R_{3v}$ es simplemente $\frac{Mg}2$ pues no hay vinculo es una union deslizante y son dos los brazos actuantes.

$$2T_2\cos\beta-Mg=0$$

de donde ya teniamos que

$$T_2=\dfrac{Mg}{2\cos\beta}$$

y a modo de completar horizontalmente

$$T_2\sin\beta-R_{3h}=0$$

sobre la barra 2 actuan en la vertical

$$R_{1v}-T_2\cos\beta-mg=0$$

horizontalmente

$$-R_{1h}+m\omega^2(D\sin\beta+d_1)-T_2\sin\beta=0$$

a la vez la suma de momentos de la barra sobre el anclaje superior 1

$$0=m\omega^2(D\sin\beta+d_1)D\cos\beta-mgD\sin\beta-T_2\sin\beta d\cos\beta-T_2\cos\beta d\sin\beta$$

la suma de momentos de la barra inferior sobre el anclaje 2

$$R_{3h}d\cos\beta -\frac12Mgd\sin\beta=0$$

$$R_{3h}=\frac12Mg\tan\beta$$

y valiendose de

$$\cos\beta=\sqrt{1-\sin^2\beta}$$

de 2' tenemos que

$$R_{1v}=mg+\frac12 Mg$$

con esto 3´ queda

$$R_{1h}=m\omega^2(D\sin\beta+d_1)-\frac12 Mg\tan\beta$$

y 4' queda

$$0=m\omega^2(D\sin\beta+d_1)D\cos\beta-mgD\sin\beta-\dfrac{Mg}{2\cos\beta}\sin\beta d\cos\beta-\dfrac{Mg}{2\cos\beta}\cos\beta d\sin\beta$$

$$0=m\omega^2(D\sin\beta+d_1)D\cos\beta-MgD\sin\beta-Mgd\sin \beta$$

aplicando 6'

$$0=m\omega^2(D\sin\beta+d_1)D\sqrt{1-\sin^2\beta}-MgD\sin\beta-Mgd\sin \beta$$

que si $d_1$ fuera 0 sería muy fácil de calcular el $\cos\beta$ pero hay que resolver la cuadrática de 4' para sacar $\sin\beta$(Osea se puede probar despreciandolo)

y reemplazar en 3',2'',5' y1' para hallar las reacciones de vinculo la tensión

Si la idea era agobiar a los que estuvieran leyendo creo que lo consguiste jaja, para no seguir hasta el infinito resumire, si bien es necesario dos ecuaciones con dos incognitas para poder resolver un sistema de ecuaciones,

Creo que no has visto que son mas de dos ecuaciones con mas de dos incognitas.

Y con esa afirmacion que haces de la segunda ley de newton esta fatal, la misma frase es incoherente: La segunda ley de Newton nos dice que la suma de las fuerzas que actúan sobre un cuerpo es igual al producto de su masa por su aceleración. Los cuerpos solo tiene una masa, supongo que te confundiste con cantidad de movimiento.

Aqui el que te confundes eres tu , y para no confundir a nadie mas

https://es.wikipedia.org/wiki/Leyes_..._din%C3%A1mica

de lo que resumo

Si la masa del cuerpo es constante se puede establecer la siguiente relación, que constituye la ecuación fundamental de la dinámica:

$\mathbf{F}_{\rm resultante} = m \mathbf{a} <br />$

Donde ''m'' es la masa del cuerpo la cual debe ser constante para ser expresada de tal forma. La fuerza neta que actúa sobre un cuerpo, también llamada fuerza resultante, es el vector suma de todas las fuerzas que sobre él actúan.

Me voy a tirar un triple: Si se traza una linea horizontal(r) al punto de apayo del brazo y una vertical(h) hasta el centro de masa, se coloca:

cos(alfa) = h/150
F = (mrw^2)*cos(alfa)
F*h - F(h-(cos(alfa)*50))

Nose si estara bien,

No se trata de embocarla, sino de dar consejos e ideas para que resuelva correctamente el problema, aparte lo que planteas no es correcto. Tampoco afirmo que lo que planteo lo sea, no me creo dueño de la verdad, y humildemente me equivoco mas de la cuenta.

Por otro lado gráficamente o por trigonometría obtienes un único angulo para el dibujo que han expuesto, pero en realidad , el objetivo es hallar el angulo $\beta$ para cualquier velocidad angular $\omega$ que se plantee y solo con los datos suministrados en el enunciado hacer un único calculo y dar el resultado.

mi unica duda es el planteamiento de la tercera ecuacion, nunca hice un problema con torque con una fuerza de este estilo,

Pues no afirmes lo que tienes dudas, es un consejo sano para trabajar en el foro, ten en cuanta que mucha gente acude para aprender y puede creer que ciertas afirmaciones son correctas cuando no lo son, y las mismas ideas pueden ser expresadas en el hilo como nuevas consultas, que siempre habra alguien dispuesto a dar una mano y hechar luz sobre el tema.

Bueno, respecto a lo que Richard hizo en su último post sinceramente no entendí cómo pudo mezclar las tensiones con ambas masas (es un defecto que tengo, que al no ver un gráfico me nublo y no sé de donde saca las ecuaciones, jaja).

Fijate si algo aclara ahora. Saludos

[animex017]

Re: Regulador Centrífugo Ejercicio

Para contestar sacas todo de contexto, obviamente no es un sistema de dos ecuaciones creo que queda claro siendo que la resulucion que yo plantee tiene tres, pero lo que puntualice fue claro, es fundamental acostumbrarse a sacar solo los datos que nos piden (hasta obligatorio diria). Te pido porfavor que no saques de contexto ni te lo tomes personal ya que se vuelve bastante tediosa la conversacion, ya que tengo que puntualizar y aclarar cosas que ya dije claras.

Con respecto a tu afirmacion erronea, la primer frase que escribiste no significa lo mismo que la segunda. Decir que, la suma de las fuerzas que actúan sobre un cuerpo es igual al producto de su masa por su aceleración, si aplico esta última a B cualquier otra fuerza que se ejerza sobre otro cuerpo, como por ejemplo, la que éste ejerce sobre A simplemente no cuentan esta mal, decir que la suma de fuerzas es igual al producto de la masa por la aceleracion esta bien, (Yo tambien hice mal de no pegar la frase completa). Leyendo la frase es muy confusa, lo primero es que espesificas demaciado (un cuerpo, su masa, su aceleracion) y luego aplicas la teoria en dos cuerpos, dando a entender que la sumatoria de fuerzas es del sistema y que solo se tiene en cuenta una masa.

Y cuando dices no se trata de enbocarla supongo que queres hacer referencia a hablar sin saber, lo cual no estoy haciendo, si bien dije me voy a tirar un triple, puntulice el porque al final, lo que afirmo es porque estoy seguro, de no ser asi lo aclaro, como se puede leer. No lo escribo de forma mas ordenada o bonita porque nose como se hace para colocar las ecuaciones como la colocan ustedes pero creo que se entiende. El planteamiento que hize se puede cambiar las mediadas si se quiere por una variable pero no veo el problema, solo coloque la medida de los brazos.

Yo creo que si hay un momento, lo unico que me complica es que la fuerza que ejerze A la cual cambia de angulo, si bien es posible sacarla con trigonometria gracias a los datos no lo tengo tan claro para encontrar la igualdad.
Con Alfa me confundi, hacia referencia a beta. Y en vez de coseno era seno, el coseno era para la iguladad de r: Si dices que esta mal estaria bueno que espesifiques el que.


sen(beta) = h/150
cos(beta) = r/150
((mrw^2)*h) - ((A*sen(alfa))*(h-(cos(beta)50))) - (P*r)

En cuanto a tus ecuaciones, no entiendo que sacas, ni porque igualas todo a 0.