1r ciclo Distancia tal que tras el impacto la reacción sobre la articulación es nula

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Hola, no tengo claro cómo podría plantear el siguiente problema. ¿Podría alguien darme alguna pista?

Una varilla fina y homogénea de longitud $l$ y masa $M$ se halla suspendida por uno de sus extremos, respecto del cual puede girar. Una partícula de masa $m$ con velocidad $v$ impacta en la varilla en un punto de ésta que se halla a una distancia $d$ respecto del eje por el que está suspendida. Si la colisión es elástica y tras el choque la partícula cae en dirección vertical, determinar cuál debe ser la distancia d a la que debe impactar la partícula de modo que la reacción sobre el eje sea nula.

Gracias

[The Higgs Particle]

Re: Distancia tal que tras el impacto la reacción sobre la articulación es nula

Empecemos por lo básico: ¿Se conserva alguna magnitud física?

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Re: Distancia tal que tras el impacto la reacción sobre la articulación es nula

Como el sistema está aislado, se conservarán la energía y el momento angular:

$E={T}_{particula }=\frac{1}{2 }mv^2=\frac{1}{2 }I_O \omega^2$

$L=mvd=I_O\omega$

Pero, ¿cuál sería la condición que hay que imponer para que no haya reacción sobre el eje? ¿Que el momento angular respecto del eje se conserve?

[Richard R Richard]

Re: Distancia tal que tras el impacto la reacción sobre la articulación es nula

Al momento del impacto el sistema debe rotar sobre el eje superior, sin transmitir impulso para que no haya reacción.

Lo que puedes hacer es plantear la conservación del momento lineal. Como te dicen que la masa luego del impacto cae verticalmente, puedes suponer nula la velocidad final luego del impacto y caerá por el efecto de la gravedad verticalmente.

así la cantidad de movimiento de la masa debe mover el centro de masa de la varilla.

$$mv=MV_{CM}$$

como sabemos que una varilla tiene su centro de masa en la mitad de la longitud, si un extremo tiene velocidad tangencial nula, el otro extremo tiene $2 V_{CM}$ de donde podemos calcular la velocidad angular

$$\omega=\dfrac{2 V_{CM}}{l}$$

si planteas la conservación del momento angular del sistema debe suceder que la distancia de impacto desde en que esta suspendido $R_I$ pude calcularse con

$$mvR_i=I\omega=\dfrac{Ml^2}{3}\omega$$

EDITO pues releyendo encontre un error

y si el choque es elástico se conserva la energía cinética, que se transforma de energía cinética traslacional, a energía cinética de rotación y como el centro de masa de la barra se mueve también hay energía cinética traslacional.

$$\frac 12 mv^2=\frac12 I\omega^2+\frac 12 mV_{CM}^2=\frac12 \dfrac{Ml^2}{3}\omega^2+\frac 12 MV_{CM}^2$$

a ver que tenemos de todo esto

de 1 obtenemos que

$$V_{CM}=\dfrac{mv}{M}$$

combinando 3 y 4 se obtiene que

$$R_I=\dfrac {mv^2-MV_{CM}^2}{\omega m v}$$

si en esta ecuación reemplazamos lo que vale la velocidad angular de 2

$$R_I=\dfrac {mv^2-MV_{CM}^2}{\dfrac{2 V_{CM}}{l} m v}$$

y reemplazando lo que vale la velocidad del centro de masa de 1'

$$R_I=\dfrac {mv^2-M\left(\dfrac{mv}{M}\right )^2}{\dfrac{2\left(\dfrac{mv}{M}\right )}{l} m v}$$

$$\boxed{R_I=\dfrac{l(M-m)}{2m}}$$

lo que impone una condición al problema, sera posible que no tenga reacción mientras la relación de masas $1<\frac Mm <3$

pero como esta colgado por la parte superior si se impacta por arriba de $l/2$ la velocidad angular sera negativa y habra reaccion de vinculo por lo que el ,limite de las relaciones de masas, queda en $2<\frac Mm <3$

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Re: Distancia tal que tras el impacto la reacción sobre la articulación es nula

Con retraso pero muchas gracias! Me ha sido muy útil