1r ciclo Dos cuerpos en caso gravitatorio

[unoonox]

Buenas, verán, tengo problemas a la hora de resolver en general problemas de dos cuerpos en potencial gravitatorio. En particular hallo dificultades en cuanto a trasladarme al centro de masas y en cuanto a los vectores centro de masas, vectores relativos... Por ejemplo, necesito ayuda con este ejercicio.

Una partícula de masa m1=5m se encuentra fija en el sistema laboratorio. Otra partícula de masa m2=m orbita a la primera por efecto de fuerza gravitatoria en órbita cerrada con semieje mayor a=5d/2, siendo d la mínima distancia entre las partículas.

a)Obtener en función de d la ecuación de la trayectoria de m2 alrededor de m1
b)Si cuando están a la máxima distancia se deja libre a m1 y se mueven por su interacción gravitatoria, calcular las ecuaciones de las trayectorias de ambas masas en el sistema centro de masas.
c)Para el caso b), obtener la máxima y mínima distancia de casa masa al centro de masas y calcular el periodo de la masa m1.

En el primer apartado, ¿cómo calculo la velocidad mínima?

En el segundo la distancia máxima es 4d, pero no veo cómo sacar las ecuaciones basándome en el centro de masas.

Se agradece la ayuda

[Alriga]

Re: Dos cuerpos en caso gravitatorio

a) La trayectoria al ser cerrada y de distancia no constante será una elipse. La ecuación de la elipse en polares referida al foco (que es donde está m1) es:

$r=\dfrac{a \ (1-e^2)}{1+e \cos \theta}$

La relación entre el semieje mayor "a" y la distancia mínima "$r_p$" siendo "e" la excentricidad es:

$r_p=a \ (1-e)$

Según los datos:

$d=\dfrac{5d}2 (1-e)$

Despejamos:

$e=\dfrac 3 5$

Sustituyendo:

$r=\dfrac{\dfrac{5d}2 \ \Big [1-\Big (\dfrac 3 5\Big )^2\Big ]}{1+\dfrac 3 5 \cos \theta}$

$r=\dfrac{8d}{5+3 \cos \theta}$

Esta es la ecuación de la trayectoria.

Saludos.

[unoonox]

Re: Dos cuerpos en caso gravitatorio

Gracias, eso lo tenía. El problema viene justo después, cuando me piden la velocidad mínima, pero sobre todo, el apartado b es el que me causa problemas. Me lío con el sistema centro de masas.

[Alriga]

Re: Dos cuerpos en caso gravitatorio

me piden la velocidad mínima,

En una órbita elíptica la velocidad es:

$\boxed{v=\sqrt{2 \ G \ M \ \left ( \dfrac 1 r-\dfrac 1{2 \ a} \right )}}$

La velocidad mínima es en el apoastro, es decir cuando:

$r=a(1+e)$

Saludos.

[unoonox]

Re: Dos cuerpos en caso gravitatorio

Cierto.... gracias con ese punto.
En cuanto al apartado b, no consigo hallar las trayectorias.

[Alriga]

Re: Dos cuerpos en caso gravitatorio

¿Has mirado el capítulo 5 de Gravitación newtoniana?

Saludos.

[unoonox]

Re: Dos cuerpos en caso gravitatorio

Sí, y lo entiendo, pero no veo cómo manejar los vectores para moverme de una masa al sistema centro de masas y obtener las ecuaciones de las trayectorias.