1r ciclo Cargas eléctricas sobre barra móvil deslizante

[Joako98]

Hola, necesitaria ayuda con este problema:

Un plano aislante infinito está fijo en el espacio y posee una densidad uniforme de carga σ. Una barra rígida de longitud L y masa M está restringida a moverse a lo largo de un eje perpendicular al plano, al cual puede atravesar por un agujero pequeño. La barra tiene en sus extremos cargas puntuales q de igual valor y signo. Estas cargas son de signo contrario a la del plano.
Llamando x a la coordenada que describe la posición del centro de la barra respecto al plano
(x = 0 representa la situación en que el centro de la barra pasa por el agujero):

Pide lo siguiente:
-Graficar la fuerza total sobre la barra como función de x.
-Describir en detalle el movimiento de la barra para el caso en que la posición inicial es x = 0,
y la velocidad inicial es v0.
-¿Para qué valores de tiempo la barra vuelve a estar en la posición x = 0?

[Richard R Richard]

Re: Cargas eléctricas sobre barra móvil deslizante

La fuerza que hace sobre una carga un plano cargado es

$F=qE$

que sera atractiva si las carga puntual y la del plano son opuestas y repulsiva si sucede lo contrario.

por lo que veo hay que considerar tres regiones

$\left\{<br /> \begin{aligned}<br /> -\infty<x<-\frac L2\\<br /> -\frac L2\leqslant x\leqslant\frac L2\\<br /> \frac L2<x<\infty<br /> \end{aligned}\right .$

para el lado de las $x<0$ el campo eléctrico es

$E=\dfrac{\sigma}{2\epsilon_0}$

y para el lado de las $x>0$ el campo eléctrico es

$E=-\dfrac{\sigma}{2\epsilon_0}$

por lo que la fuerza de la barra para cada tramo queda

$\left\{<br /> \begin{aligned}<br /> -\infty<x<-\frac L2 &---------\to& q_1\dfrac{\sigma}{2\epsilon_0}+q_2\dfrac{\sigma}{2\epsilon_0}=q\dfrac{\sigma}{\epsilon_0}\\<br /> -\frac L2\leqslant x\leqslant\frac L2&---------\to& q_1\dfrac{\sigma}{2\epsilon_0}-q_2\dfrac{\sigma}{2\epsilon_0}=0\\<br /> \frac L2<x<\infty&---------\to& -q_1\dfrac{\sigma}{2\epsilon_0}-q_2\dfrac{\sigma}{2\epsilon_0}=-q\dfrac{\sigma}{\epsilon_0}<br /> \end{aligned}\right .$


la aceleracion de la barra entonces para cada tramo

$\left\{<br /> \begin{aligned}<br /> -\infty<x<-\frac L2 &---------\to&a= \dfrac{q\sigma}{M\epsilon_0}\\<br /> -\frac L2\leqslant x\leqslant\frac L2&---------\to& 0\\<br /> \frac L2<x<\infty&---------\to& a=- \dfrac{q\sigma}{M\epsilon_0}<br /> \end{aligned}\right .$

por lo que la barra ira con velocidad constante entre $-\frac L2\leqslant x\leqslant\frac L2$ y reducira su velocidad y la invertira volviendo hacia el plano en los dos casos restantes el punto maximo de alejamiento sale de la cinematica newtoniana como

$2a(X_f-X_o)=V_f^2-V_o^2$

obteniendo

$\left\{<br /> \begin{aligned}<br /> X_{f_{min}}&=-&\frac L2&-\dfrac{MV_o^2\epsilon_0}{2\sigma}\\<br /> X_{f_{max}}&=&\frac L2&+\dfrac{MV_o^2\epsilon_0}{2\sigma}<br /> \end{aligned}\right .$

Asi surgen las graficas




y la posicion en funcion del tiempo




El calculo del tiempo se reduce a ver que recorre 2 veces la distancia L/2 a velocidad Vo y dos veces acelera y frena entre 0 y Vo con aceleración contante a


$t_c=2\left( \dfrac{\dfrac L2}{V_0}\right )+2\left( \dfrac {V_0}{\dfrac{q\sigma}{M\epsilon_0}} \right )$


$\boxed{t_c= \dfrac{L}{V_0}+ \dfrac {2M\epsilon_0V_0}{q\sigma}}$

[Joako98]

Re: Cargas eléctricas sobre barra móvil deslizante

Muchas gracias había interpretado erróneamente que las cargas no podían atravesar el plano, los lo que x solo estaría entre -l/2 y l/2, pero me sirvió mucho. Gracias