1r ciclo Cinemática en 3D

[surrealfrog]

Si consideramos el movimiento de un objeto en 3 dimensiones, y estudiamos el movimiento en coordenas esféricas o coordenadas cilíndricas, ¿Cuáles son las ecuaciones para la velocidad y para la aceleración?

[arivasm]

Re: Cinemática en 3D

http://w3.mecanica.upm.es/~goico/mec.../cbd/cbd-b.pdf

[surrealfrog]

Re: Cinemática en 3D

Gracias, leí el documento y me surge una duda:
Cuando estudiamos el movimiento de una partícula sobre una curva cualquiera mediante el triedro intrínseco, en la aceleración aparece la componente normal (Aceleración centrípeta) y la tangencial como las conocemos. Sin embargo, cuando estudiamos en coordenadas cilíndricas, aparece además en el eje tangencial el término de la aceleración de Coriolis. No debería ser que en el caso general (triedro intrínseco) aparezcan "todas" las aceleraciones (aceleración tangencial, aceleración centrípeta y aceleración de coriolis)?

[arivasm]

Re: Cinemática en 3D

No comprendo por qué dices que al manejar coordenadas cilíndricas aparece la aceleración de Coriolis. Tampoco en las esféricas aparece la centrípeta ni la tangencial. No debemos confundir, por ejemplo, la componente radial de la aceleración en coordenadas esféricas con la aceleración centrípeta.

Sobre el triedro intrínseco, ten en cuenta que se trata de un sistema de versores móvil, ligado a la trayectoria, que no necesariamente serán los mismos versores que los de un sistema de coordenadas esféricas o cilíndricas.

[surrealfrog]

Re: Cinemática en 3D

Gracias. Tienes razon, estaba cometiendo un error.
Bueno, estaba tratando de demostrar lo siguiente para la velocidad.
De acuerdo al triedro tenemos que:
$\frac{\mathrm{d}\vec{r}(t)}{\mathrm{d} t} = \frac{\mathrm{d}r }{\mathrm{d}s } \hat{t}$
Y en coordenadas polares tenemos que:
$\vec{r}(t) = r\hat{{e}_{r }}$
y:
$\frac{\mathrm{d}\vec{r}(t)}{\mathrm{d} t} = \frac{\mathrm{d}r }{\mathrm{d}t } \hat{{e}_{r }}+r\frac{\mathrm{d}\theta }{\mathrm{d}t } \hat{{e}_{\theta }}$
He encontrado que:
$\hat{t} = \frac{\vec{r'}(t)}{\left\vert{\vec{r'}(t)} \right\vert{} }$
Pero la pregunta es:
¿Cómo cálculo $\frac{\mathrm{d}r}{\mathrm{d}s }$ para demostrar que ambas expresiones son equivalentes?

[arivasm]

Re: Cinemática en 3D

Si entiendo bien, estás abandonando el tema 3D del hilo hacia el estudio del movimiento plano (pues las coordenadas polares corresponden con este caso).

Las expresiones que escribes son correctas. La equivalencia no necesita de más demostración que el hecho de que ambas lo son.

De todos modos, debes tener en cuenta el diferente significado del sistema de coordenadas polar y del triedro intrínseco. Para las primeras eliges un punto cualquiera del espacio como origen de coordenadas y a partir de él se determinan la distancia $r$, el ángulo $\theta$ y los versores $\vec e_r$ y $\vec e_\theta$. En cambio, los versores el triedro están tomados sobre la propia trayectoria, siendo en cada punto $\hat t$ tangente a la misma y $\hat n$ perpendicular y dirigido hacia el centro de curvatura (en el movimiento plano obviamente $\hat b=\vec k$). $s$ es una coordenada curvilínea tomada sobre la propia trayectoria.

Por tanto, $\dfrac{\dd r}{\dd s}$ expresa el ritmo de la variación de la distancia al origen de coordenadas respecto de la coordenada $s$, con lo que dependerá de la trayectoria particular seguida por la partícula.

Si queremos, podemos relacionarlas del siguiente modo: como $\dd s^2=\dd x^2+\dd y^2=\dd r^2+r^2\dd\theta^2$, $\dfrac{\dd s^2}{\dd r^2}=1+r^2\dfrac{\dd\theta^2}{\dd r^2}$, de manera que $\dfrac{\dd r}{\dd s}=\dfrac{1}{\sqrt{1+\dfrac{r^2}{\left(\frac{\dd r}{\dd \theta}\right)^2}}}$ que, como vemos, depende de la ecuación $r(\theta)$ de la trayectoria.