Divulgación Rotación de objetos rígidos, (universidad)

[fisica95]

[FONT=&amp]Hola, tengo una pregunta bastante simple creo, pero que algo me falla.

[/FONT]
[FONT=&amp]Si tienes una rueda rodando por el suelo, y va en linea recta la fricción se opone a la dirección de la rueda. Muy bien. Si por el contrario la rueda no està a un angulo de 90º con el suelo, hará una trayectoria circular. La fricción en este caso irá en dirección hacia el centro del círculo. És este único valor que contribuye a la fuerza centrípeta? Dicho de otra forma: si consiguieramos un suelo 100% sin fricción, en el vacío (el aire no frena nada etc etc), y la rueda estuviera inclinada (o sea, no a 90º) haría una trayectoría circular o recta? En caso de ser movimiento circular que contribuye para tener una fuerza centrípeta?[/FONT]

[Zorak]

Re: Rotación de objetos rígidos, (universidad)

No existe ninguna fuerza centripeta, lo que hace girar a la rueda es el rozamiento, que es tangencial a la circunferencia de la rueda en el punto de contacto con el suelo. Y en el caso que propones sin rozamiento, la rueda tendría un movimiento de traslación puro.

[Richard R Richard]

Re: Rotación de objetos rígidos, (universidad)

Discrepo de tu análisis zorak ,en el caso de la rueda inclinada con rozamiento en el suelo , el peso y el rozamiento generan un momento torsor, que cambia la dirección del momento angular de la rueda, describiendo mas bien una espiral, y en caso sin rozamiento describira una circunferencia... osea por conservación del momento angular de la rueda, la rueda tiende a seguir girando en el mismo plano, pero el momento torsor del peso cambien el eje como respuesta a eso el eje de giro rota , un efecto similar se ve en este video

si llamo $\theta$ al ángulo de inclinación de la rueda con respecto a la vertical
el fundamento viene de saber que el torque es la derivada con respecto al tiempo del momento angular

$\vec {\tau}=\dfrac{\partial \vec L}{\partial t}$


el analisis se complica mas si aseveramos que hay rodadura entre la rueda y suelo

la velocidad angular de rotación sobre el plano sale de

$\omega_{giro} = \dfrac{|\vec{\tau}|}{|\vec L|}=\dfrac{mgR\tan \theta}{mRv_{tangencial}}=\dfrac{g\tan \theta}{v_{tangencial}}$

$F_c=m\omega_{giro}^2r_{giro}=m\dfrac{g^2\tan^2 \theta}{v_{tangencial}^2}r_{giro}=m\,\dfrac{g^2\,\tan^2 \theta}{\omega_{rueda}^2\, R^2}\,r_{giro}$

[Zorak]

Re: Rotación de objetos rígidos, (universidad)

Discrepo de tu análisis zorak ,en el caso de la rueda inclinada con rozamiento en el suelo , el peso y el rozamiento generan un momento torsor, que cambia la dirección del momento angular de la rueda, describiendo mas bien una espiral, y en caso sin rozamiento describira una circunferencia... osea por conservación del momento angular de la rueda, la rueda tiende a seguir girando en el mismo plano, pero el momento torsor del peso cambien el eje como respuesta a eso el eje de giro rota , un efecto similar se ve en este video

si llamo $\theta$ al ángulo de inclinación de la rueda con respecto a la vertical
el fundamento viene de saber que el torque es la derivada con respecto al tiempo del momento angular

$\vec {\tau}=\dfrac{\partial \vec L}{\partial t}$


el analisis se complica mas si aseveramos que hay rodadura entre la rueda y suelo

la velocidad angular de rotación sobre el plano sale de

$\omega_{giro} = \dfrac{|\vec{\tau}|}{|\vec L|}=\dfrac{mgR\tan \theta}{mRv_{tangencial}}=\dfrac{g\tan \theta}{v_{tangencial}}$

$F_c=m\omega_{giro}^2r_{giro}=m\dfrac{g^2\tan^2 \theta}{v_{tangencial}^2}r_{giro}=m\,\dfrac{g^2\,\tan^2 \theta}{\omega_{rueda}^2\, R^2}\,r_{giro}$

Tenes toda la razón, malinterprete el texto, cuando lei la palabra inclinado pensé en la rueda bajando por un plano inclinado sin roce...Para la próxima tendré que prestar mas atención.Creo que debe ser un trauma de hacer tantos ejercicios de planos inclinados en la universidad jajaj.

[surrealfrog]

Re: Rotación de objetos rígidos, (universidad)

Analizando el vídeo me quedan algunas dudas.
Cuando muestra que la rueda precesa, el momento angular esta en la dirección del eje, y el torque sería el producto vectorial de la tensión en la cuerda por un vector posición que va del lugar donde se une la cuerda y el eje con el centro de masa de la rueda. Entonces es un vector perpendicular al momento angular.
Con esta configuración de vectores no me queda claro por qué precesa, si hay un torque el momentum angular cambia, y esto hace que el momentum angular "gire" ocasionando la precesión? Si es así, como podríamos calcular la velocidad de la precesión?

[fisica95]

Re: Rotación de objetos rígidos, (universidad)

Genial! bueno sí, zorak, lo que me refería era que la fricción actuaba como fuerza centrípeta.

Gracias Richard! tu respuesta es genial! Aunque en realidad, estrictamente no es el peso el que genera el momento torsor, sinó la fuerza normal no? Ya que el peso "sale" del centro de gravedad y por lo tanto no genera torque en este sistema de referencia.
Ahora pensándolo, si el momento torsor creado por la fuerza de fricción es mucho mas grande que el creado por la fuerza normal, entonces cambiaría la trayectoría circular no? haría una trayectoría circular tangente a la que sería en el caso inverso, correcto?
(bueno en realidad es espiral, pero digo circular para simplificar )

- - - Actualizado - - -

También tengo otra duda, si tu dejas la rueda girar, con fricción, llega un momento en que deja de "rodar" i en realidad empieza a ser un sistema de "torque-free precession" como el euler disk como de este vídeo. (bueno digo "torque-free" aunque si tiene fricción ya aparece el torque de fricción y deja de ser torque-free).

https://www.youtube.com/watch?v=Ow0NWEgA9Ac

estoy intentando analizar en que momento deja de rodar y empieza a hacer este movimiento como que hace el Euler's disk, como funciona este cambio gradual de un tipo de movimiento al otro.

Gracias

[Richard R Richard]

Re: Rotación de objetos rígidos, (universidad)

Con esta configuración de vectores no me queda claro por qué precesa, si hay un torque el momentum angular cambia, y esto hace que el momentum angular "gire" ocasionando la precesión? Si es así, como podríamos calcular la velocidad de la precesión?

Puedes ver algo de eso en este hilo....http://forum.lawebdefisica.com/threa...to-giroscopico

estrictamente no es el peso el que genera el momento torsor, sinó la fuerza normal no?

En realidad el torque lo producen dos fuerzas de sentidos opuestos , direccion paralela pero que no son colineales. En este caso son efectivamente la normal y el peso

Ya que el peso "sale" del centro de gravedad y por lo tanto no genera torque en este sistema de referencia.

no se a que sistema de referencia te refieres , si es a cualquiera que sea inercial, el centro de gravedad de la rueda y el punto de apoyo con el suelo no estan en la misma linea , por lo tanto hay torque entre el Peso y la normal.

Ahora pensándolo, si el momento torsor creado por la fuerza de fricción es mucho mas grande que el creado por la fuerza normal, entonces cambiaría la trayectoría circular no?

A ver puede haber múltiples combinaciones entre la velocidad angular de la rueda y la de traslación , por lo que el efecto de la fuerza de rozamiento puede ser distinto en cada caso

El rozamiento siempre se aplica en un punto alejado un radio R del centro de masa de la rueda, por lo que provoca sobre la rueda dos efectos, un cambio en la velocidad de traslación y un cambio en la velocidad de rotación de la rueda.
tomando valores en modulo

$v_{CM}>\omega R \to \text{ el rozamiento aumenta a } \omega \text{ y reduce a la } v_{CM}$

$v_{CM}=\omega R \to \text{ en rodadura no se modifica } \omega \text{ ni la } v_{CM}$

$v_{CM}<\omega R \to \text{ el rozamiento disminuye a } \omega \text{ y aumenta a la } v_{CM}$

Cuando no hay fricción, lo único que no cambia de velocidad es el centro de masa por lo que el punto de apoyo describira una circunferencia, tal cual pasa en los videos que muestras,

Bueno como en realidad siempre hay un pequeño rozamiento entre las superficies , y entre el disco y el aire, la energía cinética de rotación disminuye, el momento angular se hace mas pequeño y el angulo $\theta$ de inclinación se hace mas próximo a $\frac {\pi}{2}$ la conservación del momento angular hace que el punto de apoyo aumente de radio y su velocidad de giro en esa trayectoria curva, hasta parecer vibrar y luego de disipada toda la energía, se detiene.

estoy intentando analizar en qué momento deja de rodar y empieza a hacer este movimiento como que hace el Euler's disk, como funciona este cambio gradual de un tipo de movimiento al otro.

Como vimos antes hay dos solicitudes distintas sobre la rueda o el disco , una es el torque entre el peso y la normal cambiando el plano de giro, y moviendo el punto de apoyo y otra solicitud es la fricción contra el piso que como sabes el rozamiento estático es mayor que el dinámico,y cuando el aumento de la velocidad angular de giro debido al torque hace que la velocidad tangencial de la rueda sea igual a la velocidad de giro del punto de apoyo, entonces el movimiento se transforma en rodadura , en cuyo caso el rozamiento se transforma en estático ya no en dinámico, por lo que se observa un cambio visible en el movimiento, se acoplan los dos movimientos,

[fisica95]

Re: Rotación de objetos rígidos, (universidad)

Gracias por tu respuesta!!

En realidad el torque lo producen dos fuerzas de sentidos opuestos , direccion paralela pero que no son colineales. En este caso son efectivamente la normal y el peso

no se a que sistema de referencia te refieres , si es a cualquiera que sea inercial, el centro de gravedad de la rueda y el punto de apoyo con el suelo no estan en la misma linea , por lo tanto hay torque entre el Peso y la normal.

Pero si mi sistema de referencia inercial se mueve con la rueda, y tiene su centro de masa como punto de origen, entonces el peso no crea ningun torque ya que está a distancia nula, por lo que el torque solo vendría de la fricción y la normal.. o me estoy equivocando? que sistema de referencia tenías en mente?

- - - Actualizado - - -

Como vimos antes hay dos solicitudes distintas sobre la rueda o el disco , una es el torque entre el peso y la normal cambiando el plano de giro, y moviendo el punto de apoyo y otra solicitud es la fricción contra el piso que como sabes el rozamiento estático es mayor que el dinámico,y cuando el aumento de la velocidad angular de giro debido al torque hace que la velocidad tangencial de la rueda sea igual a la velocidad de giro del punto de apoyo, entonces el movimiento se transforma en rodadura , en cuyo caso el rozamiento se transforma en estático ya no en dinámico, por lo que se observa un cambio visible en el movimiento, se acoplan los dos movimientos,

Entonces si solo hay torque de la normal y la fricción, el vector torque generado por cada fuerza es en la misma dirección aunque sentido contrario no? no veo como el torque aumenta la velocidad angular, no cambiaría simplemente la dirección del momento angular, pero no su módulo? y por lo tanto su velocidad angular no podría crecer no?

[Richard R Richard]

Re: Rotación de objetos rígidos, (universidad)

Pero si mi sistema de referencia inercial se mueve con la rueda, y tiene su centro de masa como punto de origen, entonces el peso no crea ningun torque ya que está a distancia nula, por lo que el torque solo vendría de la fricción y la normal.. o me estoy equivocando? que sistema de referencia tenías en mente?

Cualquiera, en un sistema de referencia inercial con origen en el punto $O$ arbitrario , con el punto de apoyo llamado $n$ y el centro de masas $C_M$ la sumatoria de momentos con respecto al origen es

$\vec\tau=\dst \sum \vec{F_i}\times \vec{OP_i}=\vec P\times \vec{OC_M}+\vec N\times \vec{On}$

por la segunda ley de Newton como no hay aceleración del suelo el peso y la normal se equilibran

así

$\vec P+\vec N=\vec 0\quad \to\quad \vec P=-\vec N$

entonces

$\vec\tau=\vec P\times \vec{OC_M}-\vec P\times \vec{On}=\boxed{\vec P\times \vec{C_Mn}}$

para cualquier sistem de referencia inercial

Cuando $O$ coincida con el $C_M$ como tu indicas, es solo un caso particular, y fijate que lo pude expresar en función del peso, aunque tambien lo puedo expresar en función de la normal

$\boxed{\vec\tau=-\vec N\times \vec{C_Mn}}$

Entonces si solo hay torque de la normal y la fricción, el vector torque generado por cada fuerza es en la misma dirección aunque sentido contrario no?

No, el torque creado por el peso y la normal rota apuntando siempre dentro un plano horizontal, en cambio el de la fricción que también rota, pero lo hace siempre siendo perpendicular al vector $\vec{C_Mn}$ que une el punto de apoyo con el centro de masas ....

no veo como el torque aumenta la velocidad angular,

Sin rozamiento el torque provocado por $P_{eso}N_{ormal }$ no cambia ni la velocidad angular ni el ángulo de inclinación.

Con rozamiento el torque de la fuerza de rozamiento cambia el angulo de inclinación al disminuir la energía cinetica de rotación, y al cambiar este angulo el torque PN aumenta, (porque se separa horizontalmente el $C_M$ y la normal $n$) , pues la separación es siempre $R \sin\theta$, y como el momento angular se debe conservar lo único que puede contrarrestar el aumento del ángulo, es el aumento de la frecuencia angular.

no cambiaría simplemente la dirección del momento angular, pero no su módulo? y por lo tanto su velocidad angular no podría crecer no?

Sin rozamiento sería correcto, pero con rozamiento es mas complejo que eso.

[fisica95]

Re: Rotación de objetos rígidos, (universidad)

No, el torque creado por el peso y la normal rota apuntando siempre dentro un plano horizontal, en cambio el de la fricción que también rota, pero lo hace siempre siendo perpendicular al vector $\vec{C_Mn}$ que une el punto de apoyo con el centro de masas ....

Vale, mas o menos entiendo todo lo que dices, aunque no veo del todo esto que dices...
Supongo que estoy ententiendo algo mal, pero no serian estas las direcciones del torque generado por la fuerza de fricción f y la generada por la fuerza normal N?


que es a lo que me refería con lo que decía de

"Entonces si solo hay torque de la normal y la fricción, el vector torque generado por cada fuerza es en la misma dirección aunque sentido contrario no?"

y no veo que se contradiga con lo que dices de "No, el torque creado por el peso y la normal rota apuntando siempre dentro un plano horizontal, en cambio el de la fricción que también rota, pero lo hace siempre siendo perpendicular al vector que une el punto de apoyo con el centro de masas ...."

ya que en el dibujo el torque creado por el peso y normal está dentro de un plano horizontal con el vector CoM, y el torque por la fricción es perpendicular al vector CoM (al igual que el torque por la normal). No entiendo que estoy haciendo mal aquí..

Gracias

[Richard R Richard]

Re: Rotación de objetos rígidos, (universidad)

Supongo que estoy ententiendo algo mal, pero no serian estas las direcciones del torque generado por la fuerza de fricción f y la generada por la fuerza normal N?

el torque total, es la suma vectorial del torque del peso y normal mas el torque creado por la fuerza de rozamiento sobre el centro de masas.

"Entonces si solo hay torque de la normal y la fricción, el vector torque generado por cada fuerza es en la misma dirección aunque sentido contrario no?"

Del grafico ves que no, la fuerza de rozamiento y la normal estan aplicados al mismo punto, pero difieren en 90 ° la dirección, y los torques creados por cada una de estas fuerzas difieren también en 90° sobre un plano, no pueden tener direcciones opuestas, Saludos .