1r ciclo Problema sobre olas

[Joako98]

Buenos días, tengo problemas para resolver este ejercicio:

Desde un puerto marítimo, durante la mañana de un dia con mar calmo y sin viento, el encargado de la estación martirologio nota que a gran distancia sobre el mar se desata una fuerte tormenta eléctrica. La tormenta, sin embargo, dura unos pocos minutos y luego se disipa. Esa tarde, a las 14:00 horas, se observa que desde la dirección de la tormenta llegan al puerto olas de 12 metros de longitud de onda. A las 15:40 la longitud de onda ha disminuido a 6 metros, y a las 18:00 es de 3 metros.
Se sabe que la velocidad v de las olas depende de su longitud de onda λ según la relación $v(\lambda) = A \lambda^{\gamma}$, donde $A$ y $\gamma$ son constantes ($\gamma > 0$). En base a las mediciones reportadas, estimar el valor del exponente $\gamma$. >Aproximadamente a que hora se produjo la tormenta?

He planteado:
$d={v}_{1 } ({T}_{a}-{T}_{0})$
$d={v}_{2 } ({T}_{b}-{T}_{0})$
$d={v}_{3 } ({T}_{c}-{T}_{0})$
Y
${v}_{1 }=A {\lambda}_{1}^{\gamma}$
${v}_{2 }=A {\lambda}_{2}^{\gamma}$
${v}_{3 }=A {\lambda}_{3}^{\gamma}$

Eh intentado resolver este sistema y no encuentro la forma, nose que otra cosa hacer.
Gracias de antemano.

[arivasm]

Re: Problema sobre olas

Tienes tres ecuaciones, $d=A\lambda_i^\gamma(T_i-T_0)$ y aparentemente cuatro incógnitas, $d, A, \gamma, T_0$. Sin embargo, podemos reducirlas a tres manejando $\delta=d/A$ como una única incógnita (pues solo se nos pide que determinemos $\gamma$). De este modo, las ecuaciones son $\delta=\lambda_i^\gamma(T_i-T_0)$
Dividiendo miembro a miembro ya eliminas una de ellas:

$1=\left(\dfrac{\lambda_1}{\lambda_3}\right)^\gamma\dfrac{T_1-T_0}{T_3-T_0}$
$1=\left(\dfrac{\lambda_2}{\lambda_3}\right)^\gamma\dfrac{T_2-T_0}{T_3-T_0}$

Para no complicar la notación pongamos los valores de los cocientes entre longitudes de onda:

$1=4^\gamma\dfrac{T_1-T_0}{T_3-T_0}$
$1=2^\gamma\dfrac{T_2-T_0}{T_3-T_0}$

Despejando $T_0$ en cada una de ellas e igualando nos queda una sola incógnita, que es $\gamma$. En primer lugar

$T_0 = \dfrac{T_3-4^\gamma T_1}{4^\gamma-1}$
$T_0 = \dfrac{T_3-2^\gamma T_2}{2^\gamma-1}$

Luego

$\dfrac{T_3-4^\gamma T_1}{4^\gamma-1}=\dfrac{T_3-2^\gamma T_2}{2^\gamma-1}$

Sea $x=2^\gamma$. Teniendo en cuenta que $4^\gamma=x^2$

$\dfrac{T_3-x^2 T_1}{x^2-1}=\dfrac{T_3-xT_2}{x-1}$

Como $x^2-1=(x+1)(x-1)$ la ecuación anterior equivale a

$T_3-x^2T_1=(T_3-xT_2)(x+1)$

Desde aquí tienes una ecuación en $x$ de segundo grado. Finalmente usa que

$\gamma=\dfrac{\ln x}{\ln 2}$

De todos modos, revisa lo que he escrito, pues he hecho los cálculos de cabeza y me suelo equivocar al actuar así. Pero la idea creo que está expuesta.

[Alriga]

Re: Problema sobre olas

$$d={v}_{1 } ({T}_{a}-{T}_{0})$$

$$d={v}_{2 } ({T}_{b}-{T}_{0})$$

$$d={v}_{3 } ({T}_{c}-{T}_{0})$$

Y

$${v}_{1 }=A {\lambda}_{1}^{\gamma}$$

$${v}_{2 }=A {\lambda}_{2}^{\gamma}$$

$${v}_{3 }=A {\lambda}_{3}^{\gamma}$$

Para resolver el sistema. Sustituyendo (4) (5) y (6) en (1) (2) y (3) y después combinando (1) con (2) y (1) con (3) quedan estas 2 ecuaciones

$\lambda_1^{\gamma}(T_a-T_0)=\lambda_2^{\gamma}(T_b-T_0)$

$\lambda_1^{\gamma}(T_a-T_0)=\lambda_3^{\gamma}(T_c-T_0)$

Tomando logaritmos

$\gamma \ln \dfrac{\lambda_1}{\lambda_2}=\ln \dfrac{T_b-T_0}{T_a-T_0}$

$\gamma \ln \dfrac{\lambda_1}{\lambda_3}=\ln \dfrac{T_c-T_0}{T_a-T_0}$

Dividiendo miembro a miembro eliminamos $\gamma$. Ahora llamo "K" al cociente:

$K=\dfrac{\ln \dfrac{\lambda_1}{\lambda_2}}{\ln \dfrac{\lambda_1}{\lambda_3}}=\dfrac{\ln \dfrac{12}{6}}{\ln \dfrac{12}{3}}$

Se obtiene

$\ln \dfrac{T_b-T_0}{T_a-T_0}=\ln \left (\dfrac{T_c-T_0}{T_a-T_0}\right )^K$

$$\dfrac{T_b-T_0}{T_a-T_0}=\left (\dfrac{T_c-T_0}{T_a-T_0}\right )^K$$

Si calculamos el valor de K se obtiene, (vaya casualidad) $K=\dfrac 1 2$ por lo tanto

$(T_b-T_0)^2=(T_a-T_0)(T_c-T_0)$

Sustituye

$T_a=14$

$T_b=15.6667$

$T_c=18$

Y resuelve la ecuación de segundo grado para obtener $T_0$ . Si no me equivoco sale $T_0=9.8333=9 \ h \ 50 \ min$ Con ese valor calcula $\gamma$ despejando por ejemplo en:

$\gamma \ln \dfrac{\lambda_1}{\lambda_2}=\ln \dfrac{T_b-T_0}{T_a-T_0}$

Si no me equivoco, me sale $\gamma=0.4854$

Observa que los números del enunciado están preparados para que K=1/2 permita que la ecuación sea de 2º grado. Si no, para un valor arbitrario de K habría que resolver la ecuación (7) mediante métodos numéricos.

Saludos.

PD. Veo que arivasm ha posteado al mismo tiempo, saludos Antonio

[Richard R Richard]

Re: Problema sobre olas

si analizas los valores de lasa longitudes de onda vras que

$\lambda_1=2\lambda_2=4\lambda_3$

poniendo todo esas ecuaciones en funcion de $\lambda_3$

$d=A(4\lambda_3)^{\gamma} ({T}_{a}-{T}_{0})=A(2\lambda_3)^{\gamma} ({T}_{b}-{T}_{0})=A(\lambda_3)^{\gamma} ({T}_{c}-{T}_{0})$

de aqui por igualacion y simplificación


$(2\lambda_3)^{\gamma} ({T}_{a}-{T}_{0})=(\lambda_3)^{\gamma} ({T}_{b}-{T}_{0})$

$(2\lambda_3)^{\gamma} ({T}_{b}-{T}_{0})=(\lambda_3)^{\gamma} ({T}_{c}-{T}_{0})$

volviendo a simplificar

$(2)^{\gamma} ({T}_{a}-{T}_{0})={T}_{b}-{T}_{0}$

$(2)^{\gamma} ({T}_{b}-{T}_{0})={T}_{c}-{T}_{0}$

dividiendo entre si estas dos ultimas podemos seguir simplificando

$\dfrac{\cancel{(2)^{\gamma}} ({T}_{a}-{T}_{0})}{\cancel{(2)^{\gamma}} ({T}_{b}-{T}_{0})}=\dfrac{{T}_{b}-{T}_{0}}{{T}_{c}-{T}_{0}}$

y llegas a que

$T_0=\dfrac{T_b^2-T_aT_c}{2T_b-T_a-T_c}$

elijo usar un sistema de referencia de medición del tiempo donde $T_a=0$
de alli $T_b=100min$ y $T_c=240 min$

de donde sale que $T_0=-250min$ osea 4 horas y 10 min antes que $T_a$ que era 14:00 entonces la tormenta sucedió a las 9:50hs

reemplazando valores se llega a que $\gamma =0.4854$


PD parece que era un problema divertido , Saludos Antonio y Alriga

[Joako98]

Re: Problema sobre olas

Muchas gracias por la ayuda