Divulgación Ideas principales de la mecánica clásica

[ignorante]

Hola, buen día a todos. Inicio este hilo para invitarlos a exponer las que consideren las ideas principales de la mecánica clásica. Sugiero que se describa brevemente cada idea y a continuación explicarla o argumentarla, también brevemente. Mi propuesta es no llegar a los detalles, sino enfocarnos en las ideas generales. Gracias por su participación.

PD: Si alguien quiere cuestionar, debatir o corregir las ideas presentadas, pues adelante; también se vale.

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Empiezo.

- Principio de inercia: Si la fuerza neta sobre un objeto es nula, entonces se mantendrá en reposo o en movimiento rectilíneo con velocidad constante.

Esto significa que si no hay fuerza neta, no hay aceleración, y el movimiento resulta rectilíneo uniforme (MRU). Principio atribuido al señor Galileo Galilei, pero que ha pasado a la historia como la primera ley de Newton. El "estado natural" de los cuerpos no es el reposo, como pensaba Aristóteles, sino el MRU.

[Richard R Richard]

Re: Ideas principales de la mecánica clásica

No se a que te refieres con ideas principales, pero en el foro de mecánica clásica he colaborado en variados temas , te pongo una lista de los que ahora con un ratito de pensar me acuerdo, es decir, tienes muchisimos titulos a poner y una descripción muy grande de cada uno de estos títulos como argumento.

en cinemática,

MRU Movimiento rectilineo uniforme
MRUA Movimiento rectilíneo uniformemente acelerado
MCU Movimiento circular uniforme
MCUA Movimiento circular uniformemente acelerado
MAS movimiento armónico simple
MAA movimiento armónico amortiguado
y combinaciones de ellos en varias dimensiones, tiro parabólico, curva braquistócrona, encuentros de trayectorias


en dinámica

las tres leyes de Newton
Las leyes de Kepler
Gravitación
Pendulo
aceleración centripeta
La ley de Hooke
El principio de conservación de la energía mecánica
El principio de conservación de la cantidad de movimiento.
El trabajo de una fuerza
rozamiento dinámico
rodadura
Momento angular
Conservacion del momento angular
Momento de inercia
Teorema de Steiner
Poleas,
planos inclinados
dinámica del MAS y MAA
ondas
superposición de ondas
optica, reflexion refraccion lentes
interferencia, difracción
sonido
Efecto doppler
Impulso
Colisiones
engranajes y correas
Velocidad terminal de caida
rendimientos energéticos
relatividad galileana
Dinamica del solido rigido
Fuerzas ficticia,
Efecto coriolis
Efecto Magnus.

en estatica

Equilibrio de fuerzas
fuerza resultante de un sistema de fuerzas
Momento de una fuerza
palanca
Equilibrio de momentos
rozamiento estatico
sistemas hiperestaticos
centro de masa
Traccion, compresion, flexion y corte
Flecha y pandeo


Luego tienes la parte clásica relacionada con los fluidos

hidrostática, ppio de arquímedes, ppio pascal
dinámica , Bernoulli, ecuación de continuidad, teorema de torricelli
Empuje, centro de empuje, compuertas, venturi y luego aerodinámica


las principales características de los temas abordados en el mundo clásico son

• usan sistemas de referencias espaciales euclidianos, o convertibles en coordenadas cilíndricas o polares.
• los observadores comparten una única coordenada temporal,
• las interacciones entre objetos suceden a velocidad infinita, o sea son acciones instantáneas.

[The Higgs Particle]

Re: Ideas principales de la mecánica clásica

Para mí la mecánica clásica se resume, grosso modo, en el principio de Hamilton con las ecuaciones de Euler-Lagrange y el teorema de Noether.

Quiero decir, del principio de mínima acción -de Hamilton- se deducen muchísimos fenómenos que van desde electrostática hasta cuántica. Además, lleva la esencia de toda la mecánica clásica: el determinismo.
Por si fuera poco, de las ecuaciones de Euler-Lagrange se deducen las de Newton. Y bueno, con el th. de Noether tienes todas las leyes de conservación.

[ignorante]

Re: Ideas principales de la mecánica clásica

Gracias por sus respuestas Richard y particle.

Richard, mi propuesta va por buscar las ideas generales a partir de las cuales se derivan todos los detalles de la mecánica clásica. Los temas que mencionas al principio de tu mensaje se refieren a los detalles.

las principales características de los temas abordados en el mundo clásico son

• usan sistemas de referencias espaciales euclidianos, o convertibles en coordenadas cilíndricas o polares.
• los observadores comparten una única coordenada temporal,
• las interacciones entre objetos suceden a velocidad infinita, o sea son acciones instantáneas.

Estas sí me parecen ideas generales importantes que fundamentan la mecánica clásica.

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Para mí la mecánica clásica se resume, grosso modo, en el principio de Hamilton con las ecuaciones de Euler-Lagrange y el teorema de Noether.

Quiero decir, del principio de mínima acción -de Hamilton- se deducen muchísimos fenómenos que van desde electrostática hasta cuántica. Además, lleva la esencia de toda la mecánica clásica: el determinismo.
Por si fuera poco, de las ecuaciones de Euler-Lagrange se deducen las de Newton. Y bueno, con el th. de Noether tienes todas las leyes de conservación.

Esto me parece muy interesante y relevante. ¿Podrías por favor abundar al respecto? Quiero decir, escribir las expresiones correspondientes y explicar un poco más las derivaciones que mencionas. Gracias.

[Richard R Richard]

Re: Ideas principales de la mecánica clásica

Entre algunas cosas que me he leído para responderte si te es de ayuda, resumiría en que la mecánica clásica

Estudia las leyes que rigen las evoluciones de cuerpos macroscópicos a velocidades muy pequeñas comparadas con la velocidad de la luz.

La matemática que se usa como descripción cuantitativa, puede obedecer al álgebra vectorial (mecánica vectorial), o al analisis matemático (mecánica analítica), unos usan magnitudes vectoriales y las otras escalares.

Siempre la relaciones y dependencias de las leyes son contrastadas empíricamente.

Otra premisa es la existencia de un tiempo absoluto, cuya medida es igual para cualquier observador con independencia de su grado de movimiento. El tiempo entre la acción y la reacción de una interacción es nulo .

Tiene un carácter determinista o de causalidad, por el cual el estado anterior y posterior de una partícula se puede determinar, si se conoce su cantidad de movimiento ,su posición y las fuerzas intervinientes medidas simultáneamente.

La mecánica vectorial newtoniana estudia el movimiento de partículas y sólidos en un espacio euclídeo tridimensional, cuyos sistemas de referencia básicamente son sistemas de referencia inerciales y se necesita de tres ecuaciones escalares, o una ecuación vectorial, para explicar el caso más simple aplicado a una sola partícula y de 3N para N partículas

La mecanica analitica tiene dos formulaciones distintas la de Lagrange y la de Hamilton, que llegan a los mismos resultados, pero según el problema, es mejor a veces una que la otra para resolverlo.Por ej

La mecánica lagrangiana tiene la ventaja de que las ecuaciones movimiento resultan invariantes respecto a cualquier cambio de coordenadas y esto permite trabajar tanto con SR inerciales o no-inerciales.

Con N grados de libertad la mecánica lagrangiana obtiene N ecuaciones diferenciales ordinarias de segundo orden, llamadas ecuaciones del movimiento y aplicando el teorema de Noether se pueden hallar las magnitudes conservadas, ej energía, cantidad de movimiento, momento angular etc,

En cambio con la mecánica hamiltoniana se describe la evolución temporal de un sistema mediante N ecuaciones diferenciales de primer orden, que permite escoger mejor las coordenadas generalizadas del sistema.

Entre las formulaciones de relaciones surge una de las mas importantes sino la mas importante que es el principio de mínima acción o Principio de Hamilton del cual se derivan varias leyes entre ellas las de Newton.

[ignorante]

Re: Ideas principales de la mecánica clásica

Gracias por tu respuesta Richard. Tus ideas me parecen muy relevantes y algunas no las tenía en mente al iniciar el hilo, cuyo propósito es solamente seleccionar y ordenar las ideas fundamentales de la mecánica clásica, para comprenderla mejor globalmente. Cuando inicié el hilo, sólo tenía en mente las tres leyes de Newton, pero ahora veo que hay más cosillas importantes.

Me permitiré reformular las ideas de Richard y Particle, añadiendo algunas mías.

La mecánica clásica:

- Estudia los movimientos de los cuerpos del universo.
- Asume un universo con geometría euclidiana.
- Asume que el tiempo y el espacio son magnitudes absolutas.
- Asume que el universo se comporta de forma totalmente determinista.
- Asume que las interacciones entre cuerpos son instantáneas.
- Se puede estudiar en tres formulaciones distintas: la newtoniana, la lagrangiana y la hamiltoniana, de las que se llega a resultados equivalentes.
- En la formulación newtoniana se fundamenta en las tres leyes de Newton en sistemas de referencia inerciales, utilizando como herramientas matemáticas el cálculo escalar y vectorial.

Este es un resumen preliminar. Si alguien quiere agregar más o corregir algo, adelante. También invito a Richard, a Particle, o quien lo desee, a profundizar un poco más en las formulaciones lagrangiana y hamiltoniana de la mecánica clásica. Gracias.

[The Higgs Particle]

Re: Ideas principales de la mecánica clásica

Esto me parece muy interesante y relevante. ¿Podrías por favor abundar al respecto? Quiero decir, escribir las expresiones correspondientes y explicar un poco más las derivaciones que mencionas

En el siglo XVIII, de manos del matemático Euler fue cuando aparecieron los primeros formalismos matemáticos que trabajaban con el cálculo variacional. Se trataba de buscar minimizar una función $J$ de la forma:

$J = \dst \int f\left( y(x), y'(x); x \right) \dd x$

Con el cálculo variacional es posible, por ejemplo, demostrar que la luz, que sigue el recorrido entre dos puntos de forma que tarde el menos tiempo posible, va en línea recta; o cuáles son las geodésicas -trayectorias de mínimo recorrido- que ha de recorrer un avión para ir de un país a otro consumiendo la mínima gasolina posible.

Cuando, tiempo más tarde, se aplicó a la mecánica clásica, tenemos el principio de mínima acción -o principio de Hamilton, que fue primeramente entrevisto por Maupertius, aunque inspirado por un pensamiento teológico y sin demostración formal-, que se enuncia así:

Sea $S$ una cantidad denominada acción, de la forma:

$\boxed{S= \dst \int^{t_2}_{t_1} \mathcal L \dd t}$

donde $\mathcal L$ se denomina lagrangiano y se expresa como: $\mathcal L = T - U$ (energía cinética - energía potencial; es decir, es una medida de cómo se van intercambiando en un sistema la energía cinética y la potencial entre sí).

Entonces, en la naturaleza se van a seguir única y exclusivamente aquellas trayectorias que minimicen* dicha acción (donde se cumpla $\delta S = 0$, vaya). Así, por ejemplo, cuando un niño golpea una pelota, dadas sus condiciones iniciales y demás, la trayectoria que va a seguir la misma está completamente determinada: va a ser aquella en la cual se minimice la acción. Esta es la esencia de la mecánica clásica: el determinismo, del cual ni siquiera el caos se escapa (ahí lo único que falla es que no conocemos las condiciones iniciales con la precisión necesaria, pero sigue siendo un sistema determinista).

Y, efectivamente, de aquí salen las ecuaciones de Newton. La solución a la ecuación del principio de Hamilton son las ecuaciones de Euler-Lagrange. Si, para simplificar, tenemos sólo fuerzas conservativas (donde no se disipa energía, vaya) y estamos en coordenadas cartesianas (el XYZ de toda la vida), nuestro lagrangiano es:

$\mathcal L = T - U = \dst \frac {1}{2} mv^2 -U(x)$

Entonces, las ecuaciones de Euler-Lagrange:

$\boxed{\dst \frac{\partial \mathcal L}{\partial x} - \frac{\dd }{\dd t} \left(\frac{\dd \mathcal L}{ \dd v} \right)}$

donde:

$\dst \frac{\partial \mathcal L}{\partial x} = \dst \frac{\partial \left[ -U(x) \right]}{\partial x} = F$; (por definición una fuerza conservaitiva es: $\vec{F } = - \nabla U(x)$)

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

De modo que, juntándolas:

$\boxed{F = ma}$

lo cual es la II Ley de Newton (y, por ende, también la 1ª).


Por otra parte, el Th. de Noether nos habla de cómo cuando el lagrangiano queda invariante (aunque pase al tiempo, aunque nos movamos a la derecha, aunque giremos, etc), esto implica la conservación de magnitudes asociadas. Intento no extenderme más, que ya bastante largo me ha quedado (escribí un mini-artículo de divulgación aquí, por si quieres profundizar un poquito más. Si quieres aún más, te recomiendo el Taylor o el Marion).


Por otra parte, sobre lo que habéis comentado Richard y tú:
- Es cierto que la mecánica clásica se desarrolla en un espacio plano, en el euclidiano. Sin embargo, la relatividad especial también (euclidiano y el de Minkowski), así que no lo pondría como una característica intrínseca de la mecánica clásica.
- También me parece importante que el tiempo es absoluto (lo cual es consecuencia directa de que estamos lejos de la velocidad de la luz).



En resumidas cuentas. La mecánica clásica para mí es:

• Principio de mínima acción y el Th. de Noether
• Principios cuánticos (por cuestión de tamaño) y relativistas (porque $v \ll c$, lo cual ya lleva implícito tiempo absoluto, espacio plano, etc.) no aplicables

* Nota: en verdad no se busca que la minimice, sino simplemente que se cumpla que sea igual a cero (pues ya sabemos que puede ser un máximo, un mínimo o un punto de inflexión). Sin embargo, en la cinemática nos vale con decir que minimice (en variedades pseudoriemannianas, por ejemplo, donde la métrica no es a la que estamos acostumbrados, se tiene que no necesariamente ha de ser un mínimo, sino que con que una trayectoria haga nulo el $\delta S$, en dicha variedad ya es una geodésica).