Otras carreras Choque inelástico. Pelota que baja rebotando por una escalera

[willcasr]

Hola, buen dia.

requiero ayuda para comprender y asi poder desarrolar un ejercicio de fisica que debo programar en matlab. no tengo muy claro como hallar lo que me piden, el ejercicio es el siguiente

una pelota se deja caer con una Velocidad inicial (Vo) a un angulo (alfa) con la vertical sobre el escalon superior de una escalera que consta de 8 escalonres. la pelota rebota hacia abajo por los escalones, como se muesta en la figura. cafa vez que la pelota rebota, en los puntos A,B,C...la componente horizontal de su velocidad se permanece constante y la magnitud de la componente vertical de su velocidad disminiye un porcentaje k.
use el matlab para determinar:



1. si la pelota baja por las escaleras sin saltarse ningun escalon.
2.si la pelota baja por las escaleras sin rebotar dos veces en un mismo escalon.
3. el primer escalon sobre el que la pelota rebota dos veces.

no se como hallar la velocidad con la cual empieza el primer rebote y tampoco la distancia total del rebote respecto al eje horizontal.
me ayudaria mucho que me indicaran que ecuaciones o con que metodo prodria hacerlo.

de ante mano muchas gracias por leer.

[MrM]

Re: Choque inelástico. Pelota que baja rebotando por una escalera

¡Buenas noches!
Vamos por partes. ¿Sabes algo de álgebra vectorial?

Si yo coloco un sistema de referencia cartesiano usual en el plano (el eje x sería horizontal, siendo el sentido positivo hacia la derecha; y el eje y sería vertical, siendo el sentido positivo hacia arriba), cualquier vector del plano debe poder descomponerse en combinación lineal de los vectores ortonormales cartesianos. En particular, para la velocidad que te dan, esta descomposición depende del ángulo, y no es difícil comprobar que verifica:

$\vec{v}=v_0 sin( \alpha ) \hat{\imath}-v_0 cos( \alpha ) \hat{\jmath}$
Para comprobar esto simplemente puedes utilizar razones geométricas.

Nótese que, en principio, esta descomposición sólo es válida para el instante inicial. Sin embargo, dado que nos dicen que la velocidad en el eje horizontal es constante, tenemos:

$v_x=v_0 sin( \alpha )$

A partir de ahí igual puedes hacer algo.

Lo que me desorienta es lo siguiente (cito textualmente): "la magnitud de la componente vertical de su velocidad disminiye un porcentaje k". En primer lugar me desconcierta porque no sé exactamente a qué se refiere con magnitud. Hasta donde yo sé, una magnitud es algo que se puede medir (por ejemplo, la velocidad o la posición). En este contexto, la frase no me resulta muy coherente. Puedo imaginar que se refiere al valor de dicha magnitud... Pero es que aún así, sigo sin entender la frase. Es evidente que su velocidad en el eje y va variando con el tiempo debido a la fuerza de la gravedad y a los rebotes con el suelo. De hecho, es fácil ver que en cada tramo hay dos puntos en los que la velocidad cambia de signo (cuando la pelota comienza a caer y cuando choca contra el suelo y vuelve a subir). Entonces, ¿a qué se refiere exactamente cuando dice que su velocidad vertical disminuye un porcentaje k? Si se refiriera a la altura máxima alcanzada o a la energía mecánica total, sería fácil de resolver, pero como te digo, la verdad es que no le veo mucho sentido a esa frase, imagino que estará mal expresada, o igual el problema es mío, que no lo veo xD

Un saludo.

[Richard R Richard]

Re: Choque inelástico. Pelota que baja rebotando por una escalera

Lo que me desorienta es lo siguiente (cito textualmente): "la magnitud de la componente vertical de su velocidad disminiye un porcentaje k".

lo que se refiere es que el coeficiente de restitucion elastica es k

[willcasr]

Re: Choque inelástico. Pelota que baja rebotando por una escalera

lo he escrito tal cual como dice el pdf, pero entiendo que la velocidad en Y disminuye k% en este caso seria 40%, por cada salto.

pues voy a decirte lo que he hecho hasta ahora. descompuse el vector de velocidad inicial, con esto obtuve el tiempo de vuelo, altura maxima y distancia maxima del primer rebote. entonces para hallar la distancia del segundo rebote lo que entiendo es que debo usar el k% de la velocidad inicial y rehacer los calculos de la distancia maxima?

[Richard R Richard]

Re: Choque inelástico. Pelota que baja rebotando por una escalera

Mientras preparaba una respuesta mas extensa veo que sacas 40% como el coeficiente de restitución , acaso hay más datos en el problema y no los has posteado o lo supusiste y ya, cual es el PDF?...

$k=-\dfrac {V_f_y}{V_i_y}$

es lo que cae la velocidad en cada pique el signo negativo quiere decir que se invierte el sentido esto pasa solo en el eje y descarto la velocidad de la superficie en que rebota, la del piso, ya que es nula

Para resolver el problema de acuerdo a la peticion 1

primero debes suponer un diámetro de la pelota, llamemos $\phi$

para que la pelota no rebote sobre el borde del escalon y caida saltandose alguno , la distancia entre salto y salto debe ser mayor al diametro de la pelota, justamente para que el borde de del escalón pueda ser esquivado. A la vez la distancia entre el primer impacto y el primer escalón es de 0.15m por lo tanto tambien se debe esquivar la banda en que $0.15<\sum_{i=1}^n T_iv_{ix}<0.15+\phi/2$ para evitar caer en el borde donde n es el numero de piques en el suelto y T_i el tiempo de cada uno de los sucesivos saltos.

Evidentemente para valores de K muy pequeños y velocidades iniciales pequeñas aseguran que la pelota caiga golpeando todos los escalones , mas de una vez... lo que cumpliria con el punto 1

la condición para garantizar al menos un pique en cada escalón es que la velocidad en x por el tiempo de caída sea inferior la longitud del escalón, y el tiempo de caída lo sacas con lo que tarda en caer la bola del reposo que sera el mínimo

$t=\sqrt{\dfrac{2\Delta h}{g}}=\sqrt{\dfrac{2 \cdot 0.15 m}{g}}$

$\Delta x=0.3m<V_i_x\cos \alpha t$


para la peticion 2 lo que se debe encontrar es la relacion entre k , la velocidad inicial y el angulo de impacto para elegir que siempre se impacte en el centro del escalon, y que la perdida de energia cinetica en el rebote sea exactamente igual a la energia cinetica ganada por el aporte de energia potencial debido ha descender un escalon mas.


$m_pg \Delta h =\frac 12 m_p(V_f^2-V_i^2)=\frac 12 m_p\left[\left(\frac {V_i}{k}\right )^2-V_i^2\right]$

$V_i=\sqrt{\dfrac{2gk^2\Delta h}{1-k^2}}$

el angulo de impacto sale de hacer la ecuación del tiro parabólico donde


$\Delta x=0.3m=V_i\cos \alpha t$

$\Delta y =0.15 m=-V_i\sin\alpha t+\frac 12 g t^2$

se resuelve una ecuación de segundo grado para hallar $\alpha$
se tiene que usar la identidad $\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1$


para la peticion 3

hay que suponer 2 piques y calcular todo lo anterior de vuelta si te fijas se resuelve mas rápido sabiendo que la perdida de energía cinetica en cada pique es proporcional a $k^2$ dos piques lo seran a $k^4$

$m_pg \Delta h =\frac 12 m_p(V_f^2-V_i^2)=\frac 12 m_p\left[\left(\frac {V_i}{k^2}\right )^2-V_i^2\right]$

$V_i=\sqrt{\dfrac{2gk^4\Delta h}{1-k^4}}$

y ahora hay que resolver dos tiros parabólicos y sumarlos

la velocidad en x se conserva entonces se pueden sumar tiempos


$\Delta x=0.3m=V_i\cos \alpha (t_1+t_2)$

primer pique conservo el escalon

$\Delta y_1 =0m=-V_i\sin\alpha t_1+\frac 12 g t_1^2$

segundo pique salto de escalón

$\Delta y_2 =0.15 m=-kV_i\sin\alpha t_2+\frac 12 g t_2^2$

resolviendo este sistema no lineal debería encontrar $\alpha$

[willcasr]

Re: Choque inelástico. Pelota que baja rebotando por una escalera

pues no puse todos los datos porque mi objetivo era solo saber la forma de hacerlo. pero pues es mejor poner todos los datos
en el pdf dan los siguientes datos.
velocidad inicial: 1.8
angulo: 18
valor de k: 40

[Richard R Richard]

Re: Choque inelástico. Pelota que baja rebotando por una escalera

bueno lo que te piden es solamente que determines la trayectoria, que es mucho mas sencillo que lo que yo pretendi que era calcular la trayectoria justa que permita cada uno de los tres resultados.

lo que te queda es calcular cada trayectoria entre pique y pique , por el bajo k imagino que la unica solucion es la 1 .Adelante entonces con la tarea, ya tienes las formulas y cuéntanos que dio.

[willcasr]

Re: Choque inelástico. Pelota que baja rebotando por una escalera

si, ya no queda mucho, el lio es prograrlo todo.

muchisimas gracias por tus respuestas Richard. saludos.