1r ciclo Carga de rotura

[Frahan]

He conseguido resolver el siguiente problema, pero alguna consideración he debido pasar por alto porque tras repetirlo dos veces desde cero, siempre obtengo el doble del resultado esperado:

Un objeto de 0.5 kg de masa se cuelga del extremo de un alambre de acero de 2 m de longitud y 0.5 mm de diámetro (Módulo de Young = 2 x 10¹¹ N/m²). El objeto se levanta en una distancia h (de modo que el alambre deja de estar tirante) y luego se deja caer de modo que el alambre recibe un tirón súbito. La carga de rotura del acero es de 1.1 x 10⁹ N/m². ¿Cuál es el valor posible de h, que resiste el alambre sin romperse?
Solución: h= 0.23 m

Primero calculo al fuerza máxima que puede soportar el cable:
$\dfrac{F_{max}}{\pi r^2} = 1.1\cdot10^9 ~~~~\rightarrow~~~~ F_{max}= 216N$

Este valor lo sustituyo en la expresión del módulo de Young para obtener la elongación correspondiente:
$E = \dfrac{F/A}{\Delta L/L} ~~~~\rightarrow~~~~ \Delta L_{max} = \dfrac{F_{max} \cdot L}{\pi r^2 \cdot E}= 0.011m$

Calculo la aceleración sufrida por la masa con la 2ª ley de Newton:
$\sum F= T - mg= ma ~~~~\rightarrow~~~~ a=\dfrac {T}{m} - g=\dfrac {216}{0.5} - 10 = 422 m/s^2$

Ahora, empleando la cinemática hallo la altura que me piden, para lo cuál, defino como t_A el instante que el alambre se tensa e inicia su elongación y t_F el instante en el que sufre la elongación máxima.
De manera trivial obtenemos que
$v_A = -\sqrt{2gh}$

En el siguiente sistema sustituímos la expresión de v_A(h) así como los valores de:
a = 422 m/s²
$\Delta L_{max} = -y_F + y_A= -0.011 m$

$\left.\begin{matrix}<br /> v_F = v_A + at \\ <br /> y_F = y_A + v_At + \frac{1}{2}at^2 <br /> \end{matrix}\right\}$

Y se obtiene que h= 0.46 m
¿Qué estoy pasando por alto? Espero haber presentado bien el problema y que no os cueste seguirlo

[skynet]

Re: Carga de rotura

$\sum F= T - mg= ma ~~~~\rightarrow~~~~ a=\dfrac {T}{m} - g=\dfrac {216}{0.5} - 10 = 422 m/s^2$


en la ecuación de arriba has supuesto que la tensión es constante (216N) y no lo es, la tensión va aumentando con la elongación y solo al final es 216N

es más facil hacerlo por energías, la energía necesaria para romper el cable será $216 \cdot 0,011/2$ y eso será igual a mgh, sustituyes despejas y ya está.

[Frahan]

Re: Carga de rotura

Muchas gracias.

Lo he repetido y ahora sí que me sale.
Lo único que no entiendo es lo de la "energía necesaria para romper el cable será 216·0,01/2"

En su lugar me he ido a la definición (tomando como x el desplazamiento)

$W=U_{elast}(x)= \displaystyle -\int_{0}^{\Delta L}F dx =-\int_{0}^{\Delta L} \dfrac{EAx}{L}dx= 1.18 J$

$U_{elast} = U_P ~~~~\rightarrow~~~~ h=\dfrac{U_{elast}}{mg}= 0.2375 m$

Aún así me gustaría entender de dónde sale lo que has puesto

Edit: vale, nada, ya he visto que has cambiado ese 0.1 por 0.011 y entiendo que has puesto el resultado de la integral

Gracias y un saludo

[skynet]

Re: Carga de rotura

Aún así me gustaría entender de dónde sale lo que has puesto

la energía elástica es igual a la fuerza por el desplazamiento, y entre fuerza y desplazamiento hay una relación lineal (el modulo de young por el area del alambre), si integras fuerza por diferencial de desplazamiento con limtes de integración de 0 a 0,011 obtendrás la energía necesaria para romper el alambre .... pero como la relación es lineal, la integral será igual a la superficie debajo de una linea recta, eso es la superficie de un triangulo de base 0,011 y de altura 216 .... de ahí sale $216 \cdot 0,011/2$ ... es una forma rápida de hacer la integral