1r ciclo Componentes de la aceleración

[China]

Hola! son lo mismo las componentes trasversal y radial que la tangencial y normal?

Por otro lado, se establece la existencia de las componentes intrínsecas de la aceleración, porque una representa la variación de modulo y otra la variación de dirección de la velocidad.... y entonces para representar la variación del desplazamiento, que también varia en modulo y dirección no se habla de componentes intrinsecas de la velocidad?

[angel relativamente]

Re: componentes

Hola! son lo mismo las componentes trasversal y radial que la tangencial y normal?

Hola, tal como yo lo tengo entendido, cuando hablamos de componente radial y transversal nos referimos a las respectivas componentes en coordenadas polares. Es decir, si estás en el plano, en vez de dar la componente en los ejes $x,y$, la componente radial será hacer una rotación al eje radial (a la recta que une el origen con el punto donde calculas la aceleración), y la transversal por tanto será la perpendicular a la radial. Estas componentes representan un cambio de coordenadas (de cartesiano a polar), pero no te dan necesariamente la variación del módulo y de la dirección cada una de ellas respectivamente.
La aceleración tangencial es, literalmente, la componente que está sobre la recta tangente a la curva trayectoria, y la normal la perpendicular a dicha tangente. Observa que si tu trayectoria es una circunferencia centrada en el origen, entonces la radial sí que coincide con la normal y la transversal con la tangencial, pero en general no es cierto.

Por otro lado, se establece la existencia de las componentes intrínsecas de la aceleración, porque una representa la variación de modulo y otra la variación de dirección de la velocidad.... y entonces para representar la variación del desplazamiento, que también varia en modulo y dirección no se habla de componentes intrinsecas de la velocidad?

La cuestión es que la variación de "la dirección de la velocidad" es la misma que la trayectoria de la partícula, y por eso el vector velocidad es siempre tangente a la trayectoria (es su derivada). La aceleración, sin embargo, no es tangente a la trayectoria, por eso sí tiene sentido descomponerla en una componente tangente (que será la responsable de cambiar el módulo de v) y una perpendicular (que será responsable de "desviar" v).


PD: Por supuesto los vectores posición (el vector que une el origen con cada punto de la trayectoria) varían su dirección y su módulo debido a cómo varía v, y sí podrías tomar una componente de v en la dirección del vector posición (responsable de variar su módulo), y una perpendicular al mismo (responsable de que se curve), y podríamos hablar analogamente de las componentes intrínsecas de la velocidad, pero estas componentes no tienen ninguna utilidad para estudiar cómo varía la trayectoria.

Saludos

[China]

Re: componentes

Muchas gracias...he estado viendo como se llega a las componentes radial y transversal de la aceleración y ya me he dado cuenta que no coinciden con tangencial y normal. Realmente es otra forma de describir el movimiento, pero se puede representar siempre en cartesianas no? o cuando pude ser conveniente el uso de polares?

[Alriga]

Re: Componentes de la aceleración

Velocidad radial y transversal o aceleración radial y transversal son conceptos relativos a un punto de vista. Desde un punto que se establece como origen "O", en cada punto "P" de la trayectoria se puede descomponer el vector velocidad en una componte $\vec{OP}$ que se llama radial y otra componente perpendicular a $\vec{OP}$ que se llama transversal. Si nosotros estamos en "O" la componente radial nos da idea de lo rápido que en ese instante el punto P se aleja o se acerca a nosotros. Mientras que la velocidad transversal de lo rápido que lo vemos desplazarse perpendicularmente a nuestra visual. Se usa mucho por ejemplo en Astronomía para cuantificar la velocidad de las estrellas. La componente radial de la velocidad se cuantifica mediante el desplazamiento al rojo y la componente transversal mediante el movimiento propio aparente. Observa que velocidad radial y transversal son conceptos relativos al punto de vista "O" desde el que se observan, no tienen significado físico "per se". La forma más sencilla de trabajar con esos vectores es utilizar coordenadas esféricas, pero puedes usar las coordenadas que quieras. Para la aceleración, sirve lo mismo, cambiando las palabras "vector velocidad" por "vector aceleración".

Pero esto nada tiene que ver con las componentes intrínsecas de la aceleración. El vector aceleración siempre puede descomponerse en una componente tangente a la trayectoria, (no a una visual arbitraria como antes) y otra componente perpendicular a la tangente a la trayectoria. Estos dos vectores son únicos en cada punto y se llaman respectivamente aceleración tangencial y aceleración normal. Naturalmente, las componentes de cada uno de esos dos vectores dependerán de las coordenadas elegidas, pero no los vectores en sí.

Las componentes intrínsecas de la aceleración tienen significado físico, el módulo de la componente tangencial "mide" como está variando la celeridad del móvil en ese momento y la componente normal "mide" cuan rápido se está curvando la trayectoria en ese momento.

Según que sistema de coordenadas se elija, rectangulares, esféricas, cilíndricas,... las "fórmulas" para calcular las componentes intrínsecas de la aceleración son unas u otras, pero eso no cambia ni el módulo ni la dirección de los vectores.

No tiene sentido definir "componentes intrínsecas de la velocidad" puesto que el vector velocidad siempre es tangente a la trayectoria, (no existe nunca "componente normal" de la velocidad)

Saludos.

[China]

Buenas, recupero este hilo porque era una duda sobre lo mismo, y esto me sirve de aclaración a las explicaciones que obtuve anteriormente...

Ya me ha quedado claro que los ejes transversal y radial en cada punto no tienen porque coincidir con el tangencial y normal he visto las deducciones de las expresiones de las componentes de la aceleración en estos ejes llegar a la expresión de la tangencial y radial, lo veo claro, el expresar las componentes intrínsecas en polares no lo veo muy claro pero haré acto de fe, pues he intentado preguntar la duda, pero creo que no la explico bien.. entonces sobre las expresiones siguientes, tengo la duda siguiente, entiendo que el r que aparece en las componentes transversal y radial se refiere al modulo del vector de posición y sus derivadas y en las componentes intrínsecas la r se refiere al radio de curvatura y sus derivadas no?? y ambas expresiones se igualan (salvo en el signo de la radial) si consideramos una trayectoria circular con centro en el origen del SR, esto seria correcto??

$a=(r \ddot\theta + \dot r\dot \theta )u_t+ r {\dot \theta}^2 u_r$ estas son las componentes intrínsecas de la aceleración
$a=(2 \dot r \theta + r \ddot \theta)u_t+ ( \ddot r- r {\dot \theta}^2 )u_r$ estas son las componentes radial y transversal de la aceleración

Gracias Al2000

Saludos

[Al2000]

Edita y cambia el \dot por \ddot donde sea necesario...

[Alriga]

Hola, entiendo esta expresión (aunque falta un punto sobre una $\theta$) y te la podré explicar sin problemas.

$a=(2 \dot r \theta + r \ddot \theta)u_t+ ( \ddot r- r {\dot \theta}^2 )u_r$

Pero no entiendo esta otra,

$a=(r \ddot\theta + \dot r\dot \theta )u_t+ r {\dot \theta}^2 u_r$

¿De dónde sale? ¿Cómo la has deducido?

Saludos.

Nota: Los vectores en LaTeX se escriben así \vec v $\vec v$ y los vectores unitarios así \hat u $\hat u$

Entonces la expresión de arriba rigurosamente la podemos escribir $\vec a=( \ddot r- r {\dot \theta}^2 ) \, \hat u_r+(2 \dot r \dot \theta + r \ddot \theta) \, \hat u_{\theta}$

[China]

Hola, la primera que son las componentes radial y trasversal la tengo clara, el problema viene precisamente con la segunda, la obtenido del "Burbano" y la deducen de la siguiente manera a partir de $\vec a= \frac {dv}{dt}\hat u_t + \frac{v^2}{r} \hat u_n$ vector aceleración en las componentes intrínsecas, y precisamente el paso que se hace en el libro a continuación es el que no entiendo, dice que para expresar ese vector en magnitudes angulares hay que considerar que $\vec v=r \dot\theta \hat u_t$ donde r no es el vector de posición si no el radio de la curvatura de la trayectoria y metiendo en la ecuación anterior $v=r\dot\theta$ y derivándolo se llega a la ecuación que puse que se supone es la expresión de las componentes intrínsecas de la aceleración para cualquier movimiento curvilíneo en angulares y lo que no entiendo es como puede usar $\vec v=r \dot\theta \hat u_t$ para obtener una expresión general de un mov curvilíneo, cuando se supone que esa relación velocidad angular lineal es solo del movimiento circular.... no se si me he explicado lo que hace el libro ...

Además de la duda surgida en ese desarrollo, la duda original es si en la ecuación de las componentes transversal y radial r es el vector de posición y en las componentes intrínsecas r es el radio de curvatura no??

No puedo copiar un pegar del libro no?? por no lo he explicado bien..

[Richard R Richard]

Lo que te escribiré no responde directamente a tu pregunta , pero te ayudará seguro.Quieres evitarte la confusión, deduce todo el conjunto de ecuaciones del movimiento diferenciando a los vectores con su símbolo \vec , los vectores unitarios direccionales con \hat , la distancia al origen como es un módulo (un escalar) llámala $r$ y al radio de curvatura local en parte de la trayectoria llámalo $R$ y también es escalar.
Tienes que darte cuenta que la dirección tangencial de la trayectoria (perpendicular a la normal) no coincide con la dirección del vector transversal(perpendicular a la dirección radial).
Las posiciones , velocidades y aceleraciones, puedes escribirlas en cualquier sistema de coordenadas, el cartesianos o el polar pero tienes que observar que tanto en uno u otro sistema de referencia los vectores normal y tangencial varían sus componentes expresadas en esos sistemas de referencia punto a punto de la trayectoria.
La única forma que el vector normal coincida con el radial en polares , es cuando la trayectoria es circular y centrada en el origen, a la vez el vector tangencial coincidirá con el trasversal en polares, en todo punto de la circunferencia.
Pero con solo desplazar el centro de la circunferencia fuera del origen de coordenadas, la correspondencia se rompe, $R$ sigue siendo el radio de curvatura y $r$ la distancia al origen de cualquier punto considerado de la trayectoria, por lo que empezarán a surgir relaciones más complejas entre componentes para expresar los vectores en esos sistemas de referencia.
$\hat u_{\rho}$ vector unitario en dirección radial.
$\hat u_n$ vector unitario en dirección normal.
$\hat u_{\theta}$ vector unitario en dirección transversal.
$\hat u_t$ vector unitario en dirección tangencial.
$\vec x$ vector posición
$\vec v$ vector velocidad
$\vec a$ vector aceleración
$\theta$ componente angular o transversal en polares,


usa esa denominación y será más fácil de seguir los planteos que hagas , usa \dot para la primer derivada temporal y \ddot para la segunda.

Deduce las relaciones entre componentes en los sistemas cartesianos y polares , úsalos para hallar las componentes del vector posición en polares,
Deriva el vector posición usando la regla de la cadena para expresar la velocidad en polares.
Deriva el vector velocidad usando la regla de la cadena para expresar la aceleración en polares.

[Richard R Richard]

Hace un momento publiqué esta entrada de blog

Posición , velocidad y aceleración en coordenadas polares

quizás te aclare algo mas las definiciones, ahora intentare mostrarte la diferencia entre los vectores normal y radial, y los transversales y tangentes mediante un gráfico...

[Richard R Richard]

Hola, la primera que son las componentes radial y trasversal la tengo clara, el problema viene precisamente con la segunda, la obtenido del "Burbano" y la deducen de la siguiente manera a partir de $\vec a= \frac {dv}{dt}\hat u_t + \frac{v^2}{r} \hat u_n$ vector aceleración en las componentes intrínsecas, y precisamente el paso que se hace en el libro a continuación es el que no entiendo, dice que para expresar ese vector en magnitudes angulares hay que considerar que $\vec v=r \dot\theta \hat u_t$ donde r no es el vector de posición si no el radio de la curvatura de la trayectoria y metiendo en la ecuación anterior $v=r\dot\theta$ y derivándolo se llega a la ecuación que puse que se supone es la expresión de las componentes intrínsecas de la aceleración para cualquier movimiento curvilíneo en angulares y lo que no entiendo es como puede usar $\vec v=r \dot\theta \hat u_t$ para obtener una expresión general de un mov curvilíneo, cuando se supone que esa relación velocidad angular lineal es solo del movimiento circular.... no se si me he explicado lo que hace el libro ...

Además de la duda surgida en ese desarrollo, la duda original es si en la ecuación de las componentes transversal y radial r es el vector de posición y en las componentes intrínsecas r es el radio de curvatura no??

No puedo copiar un pegar del libro no?? por no lo he explicado bien..

la ecuación

$\vec a= \dfrac {dv}{dt}\hat u_t + \dfrac{v^2}{r} \hat u_n$

tienes que entender que es


$\vec a= \dfrac {d|\vec v|}{dt}\hat u_t + \dfrac{(\vec v \cdot \vec v)}{R} \hat u_n$

donde R es el radio de curvatura local , le he echado una mirada para ver si podía deducir la ecuación $a=(2 \dot r \theta + r \ddot \theta)u_t+ ( \ddot r- r {\dot \theta}^2 )u_r$

pero no me doy cuenta ni he podido hojear el libro... por lo que me llevo creo que el mismo desconcierto que Alriga.

todavía estoy intentando deducir si t refiere a "t"angencial, o "t"ransversal , lo lógico es que fuera tangencial para así n es "n"ormal.

para convertir un sistema el polar en el intrínseco debes conocer en cada punto el valor del radio de curvatura y la pendiente de la curva en el punto P

la pendiente define la direccion perpendicular a la normal, y el radio de curvatura la proporcionalidad para el modulo.

El tema es que puedes definir el movimiento de una partícula P a cada instante (t) suponiendo que la partícula esta sometida a dos aceleraciones perpendiculares, una tangencial, que aumenta o disminuye el modulo de la velocidad y otra normal , que le hace cambiar hacia uno u otro lado la direccion. El modulo de la aceleración coincide con el modulo de la aceleración en polares, y n ambos sistema el angulo respecto al eje x será distinto, pero en cada sistema el vector posición tiene coordenada angular nula, esto es

$\vec r= \rho \hat u_{\rho}+0 \hat u_{\theta}$

es un SR con origen estático en el polo u origen de las cartesianas si lo prefieres

pero

$\vec R= R \hat u_{n}+0 \hat u_{t}$

comprendes que es otra forma de establecer un sistema de coordenadas polares comóvil (no estático) que varia con cada nuevo punto P, entonces al desarrollar el planteo de las derivadas en ese nuevo marco de referencia, las coordenadas no tienen porque ser iguales a las del sistema de coordenadas polar.

[China]

A ver, entonces, foto del libro no puedo pegar no?? para que podáis ver el paso que da y que es el que no entiendo bien.

De esta $\vec a= \dfrac {d|\vec v|}{dt}\hat u_t + \dfrac{(\vec v \cdot \vec v)}{R} \hat u_n$,, no se llega a esta, $a=(2 \dot r \theta + r \ddot \theta)u_{\theta}+ ( \ddot r- r {\dot \theta}^2 )u_r$, si no a esta $a=(r \ddot\theta + \dot r\dot \theta )u_t+ r {\dot \theta}^2 u_n$ y para llegar lo que hace es decir que en cualquier punto de una trayectoria cuerva con un radico de curvatura r $\vec v=r \dot\theta \hat u_t$ y derivando esto... se llega a la expresión de las intrínsecas en magnitudes angulares... ahora bien eso que asume para cualquier punto de una trayectoria curva $\vec v=r \dot\theta \hat u_t$ no lo entiendo, pues yo suponía, que eso se cumpliría solo en trayectoria circular ...diferenciar entre componentes intrínsecas y transversal y radial y su significado creo que ya lo tengo claro...

[Richard R Richard]

A ver, entonces, foto del libro no puedo pegar no?? para que podáis ver el paso que da y que es el que no entiendo bien.

De esta $\vec a= \dfrac {d|\vec v|}{dt}\hat u_t + \dfrac{(\vec v \cdot \vec v)}{R} \hat u_n$,, no se llega a esta, $a=(2 \dot r \theta + r \ddot \theta)u_{\theta}+ ( \ddot r- r {\dot \theta}^2 )u_r$, si no a esta $a=(r \ddot\theta + \dot r\dot \theta )u_t+ r {\dot \theta}^2 u_n$

Disculpa es que entendí que el problema lo tienes con la segunda formula de tu primer mensaje reciente, listo, ahora veo.

y para llegar lo que hace es decir que en cualquier punto de una trayectoria cuerva con un radio de curvatura r $\vec v=r \dot\theta \hat u_t$ y derivando esto... se llega a la expresión de las intrínsecas en magnitudes angulares...

ya te digo veré si hay forma, no es fácil hacer el desarrollo pero....

ahora bien eso que asume para cualquier punto de una trayectoria curva $\vec v=r \dot\theta \hat u_t$ no lo entiendo, pues yo suponía, que eso se cumpliría solo en trayectoria circular ...

Sí, claro llevas razón, pero más precisamente es que $\vec v=r \dot\theta \hat u_t$ es cierta solo para coordenadas polares $(r,\theta)$, para un movimiento circular centrado en el origen solamente.
El origen en el SR cartesiano y el SR polar son compartidos, pero en intrínsecas solo se comparte cuando es un movimiento circular centrado en el origen, esto es cuando el módulo del vector posición $|\vec r|=R$ al radio de curvatura, en toda la trayectoria.

Si miras el gráfico que hice en el post anterior, el mismo vector aceleración se puede construir de tres maneras diferentes, con componentes distintas en tres sistemas de referencia diferentes

$\vec a_{cart}=(a_x,a_y)$ en cartesianas $|a|=\sqrt{a_x^2+a_y^2}$ y $\gamma =\arctan \dfrac{a_y}{a_x}$

$\vec a_{pol}=(a_r,a_{\theta})$ en polares $|a|=\sqrt{a_r^2+a_{\theta}^2}$ y $\gamma =\arctan \dfrac{a_{\theta}}{a_r}+\theta$

$\vec a_{int}=(a_n,a_t)$ en intrínsecas $|a|=\sqrt{a_n^2+a_t^2}$ y para sacar $\gamma$ tienes que conocer el ángulo en el que esta el centro instantáneo de rotación es decir la dirección del radio de giro y su distancia R.

Cuando la coordenada de la aceleración en direccion normal es $\dfrac{(\vec v \cdot \vec v)}{R}$ es justamente la aceleración centrípeta para el movimiento circular y si el módulo de la velocidad $(\dfrac {d|\vec v|}{dt}=0)$ no cambia con el tiempo, entonces la trayectoria será circular.

Vuelve a revisar si cuando están dando esa definición, no se están refiriendo a un movimiento circular, y no para todo movimiento curvilíneo, entiendo que es justamente lo que preguntas, por eso te lo digo solo por las dudas, como para que "revises" el contexto en que fue dada la definición. La primera formula entonces no la tengo presente de ningún lado que recuerde, reescribirla con sinónimos en otra simbología de poco me ha servido.

Sino puedes hacer una cosa, con paciencia, tomate unos minutos, ya que la duda viene de hace tiempo, tipea el texto del libro y las fórmulas del desarrollo en Latex (veo que ya lo dominas bastante bien), solo los párrafos que crean la duda,(encierra en una cita el texto y aporta el dato de la fuente, el Burbano ) yo no tengo el libro y en mi caso, en mi cuidad no hay bibliotecas que lo tengan, versiones online hay ,pero al menos la que encontré le faltan los signos a todas las formulas, no sé porque publican así..., el OCR no se las reconoce que se yo, por ese lado , no te puedo ayudar. Quizá alguien que lo tenga, y lo lea, pueda aportar algo más.

[Richard R Richard]

He pensado, y creo que no puedes usar las componentes medidas en el sistema de referencia polar $(r,\theta)$ en otro sistema de referencia donde los vectores unitarios son $\hat u_n$ y $\hat u_t$, así que creo que tanto $\theta$ y $r$ del juego de ecuaciones, pertenecen al propio sistema intrínseco,, pero no son las mismas coordenadas del sistema de referencia polar...

No se si me explico es un tema de notación repetida, refiriéndose con la misma simbología a componentes de diferentes sistemas de referencia, no sé si Alriga o Al2000 pueden observar lo mismo..


Edito:cuanto hace que no me metía en estos temas hoy vi de casualidad la definición de los vectores unitarios normal y tangente querya ni recordaba

$\hat{u_t(t)}=\displaystyle\frac{\vec{r'(t)}}{\left\|{\vec{r'(t)}}\right\|}$

$\hat{u_n(t)}=\displaystyle\frac{\hat{ u_t'(t)}}{\left\|{\hat{u_t'(t)}}\right\|}$

con eso creo que con paciencia se puede tirar para trata de resolver la ecuación rara

[China]

Siii, creo que ya me apaño con el latex, me costó.... el libro se refiere a un movimiento curvilíneo cualquiera porque se llega a $a=(r \ddot\theta + \dot r\dot \theta )u_t+ r {\dot \theta}^2 u_n<br /> <br />$ y dice, estas son las componentes intrínsecas de cualquier movimiento y si particularizamos a un movimiento circular, r=constante y entonces quedaría $a=(r \ddot\theta u_t+ r {\dot \theta}^2 u_n)$.

Pongo lo que dice el libro:

"IV - 4. Componentes tangenciales y normales de los vectores velocidad y aceleración en el movimiento curvilíneo plano de la partícula

En la Fig. IV-8 la partícula pasa de P a P′ en el tiempo $\Delta t$, si hacemos tender $\Delta t$ a 0, podremos poner que $dS=rd\theta$ referida al centro instantáneo de rotación, en la que r será el radio instantáneo de curvatura de la trayectoria en ese punto; teniendo en cuenta que el vector velocidad es siempre tangente a la trayectoria: y de ahí dice $\vec v=r\dot\theta \hat u_t$
Pero esto dice que es así en cualquier punto de una trayectoria curvilínea cualquiera que no tiene que ser circular y es lo que introduce en $\vec a= \dfrac {d|\vec v|}{dt}\hat u_t + \dfrac{(\vec v \cdot \vec v)}{R} \hat u_n$ para derivar la velocidad y llegar a la ecuación de la aceleración anterior, que dice son las intrínsecas en cualquier punto de una trayectoria curvilínea y que al hacer r constante se convierten en las intrínsecas de un movimiento circular."

Entonces lo que yo saco en conclusión de los que viene en el libro y de lo que me dices es que la diferencia entre está formula de la aceleración y la otra la de transversales y radiales, es que en esta última r y theta son las coordenadas polares, referidas al origen del SR y en esta otra, en las intrínsecas r y theta no son referidas al origen del SR, si no al centro de curvatura. Y otra cosa que creo entender según lo que dice el libro es que $v=r\dot\theta$ es valido solo en movimiento circular con centro en origen si r es vector de posición, pero según entiendo se pude decir que $v=r\dot\theta$ en cada punto de una trayectoria si r es el radio de curvatura.

[Richard R Richard]

Veo que lo has entendido bastante bien, y de lo que diré, en algunas cosas redundaré.

podremos poner que $dS=rd\theta$ referida al centro instantáneo de rotación, en la que r será el radio instantáneo de curvatura de la trayectoria en ese punto; teniendo en cuenta que el vector velocidad es siempre tangente a la trayectoria: y de ahí dice $\vec v=r\dot\theta \hat u_t$

Entiendo que es lo que indicaba anteriormente, $rd\theta$ están escritos con la misma notación que en las coordenadas polares, pero no son los mismos elementos, ni las mismas componentes.

$r$ en polares es el módulo o la distancia al origen que fue el que se usó para tu segunda fórmula y es el que desarrollé en mi blog , a este llamémosle $r_1$
$r$ como lo presenta en esa frase el libro que presentas es el radio de curvatura o dicho de otra forma es el módulo o distancia al centro instantáneo de rotación y a este lo llamamos $r_2=R$

Lo que digo que aunque se use la misma notación, que es lo que provoca la confusión, resulta que $r_1\neq r_2$ para la mayoría de los puntos de la curva y el caso excepción es la curva circunferencia centrada en el origen donde coinciden en toda la trayectoria.

A ver si con una analogía puedo explicarlo ,expresar una trayectoria en coordenadas intrínsecas es como manejar un auto sobre una carretera, para hacer la trayectoria tienes que acelerar, para viajar a una cierta velocidad, puedes frenar, doblar hacia un lado o hacia el otro... siguiendo en el mejor de los casos describirás porciones de arcos de circunferencia de distintos diámetros (solo cuando R es constante lograras arcos) mientras R varia con el tiempo no seguirás una porción de circunferencia.
A cada instante la aceleración la informas en base a un sistema de referencia, en el cual la direccion tangencial tiene la direccion de la velocidad instantánea,(en esta direccion puedes medir como aceleras o frenas) y la perpendicular la normal te indica desde donde se traza el radio de giro R... que dada la velocidad instantánea que llevas al cuadrado sobre ese radio de giro te da el valor de la componente centrípeta de la aceleración.


Entonces si realizas un radio de giro chico, tienes una gran aceleración normal dada una velocidad, si amplias el radio la aceleracion normal se reduce... lo mismo si aceleras o frenas (cambias el módulo de la velocidad) y mantienes el radio constante.

La componente normal de la aceleración no contribuye a cambiar el módulo de la velocidad de viaje (porque su proyección es perpendicular siempre), solo lo cambia el módulo de la velocidad si aceleras o frenas, eso se hace siempre en la direccion que lleva la velocidad instantánea que es tangente a la trayectoria en todo momento..

Pero esto dice que es así en cualquier punto de una trayectoria curvilínea cualquiera que no tiene que ser circular y es lo que introduce en $\vec a= \dfrac {d|\vec v|}{dt}\hat u_t + \dfrac{(\vec v \cdot \vec v)}{R} \hat u_n$ para derivar la velocidad y llegar a la ecuación de la aceleración anterior, que dice son las intrínsecas en cualquier punto de una trayectoria curvilínea y que al hacer r constante se convierten en las intrínsecas de un movimiento circular."

Insisto para que quede claro $\vec a= \dfrac {d|\vec v|}{dt}\hat u_t + \dfrac{(\vec v \cdot \vec v)}{R} \hat u_n$
R no es la distancia al origen de coordenadas sino al centro instantaneo de rotacion, el módulo de v es el mismo en todos los sistemas de referencia , vale lo mismo en cartesianas, en polares o intrínsecas, es un escalar (cuya magnitud solo varia si aceleras o frenas en la dirección en la que viajas en ese momento ).

Si analizamos esa ecuación , cuando el primer sumando es nulo, se obtiene una circunferencia como trayectoria de radio R , el punto donde tiene el origen ese radio R depende de la función de la trayectoria ya que R=R(t) si R fuera un vector, tendría módulo R y direccion perpendicular a la tangente de la curva, la posición de su otro extremo es variable en el tiempo. Pero si quieres una circunferencia el extremo de ese vector debe tener una posición fija(que es el centro instantaneo de rotacion, que por lo general no es el origen de coordenadas) y un módulo constante.

Y si el segundo término es nulo, la trayectoria es una recta, ya que aceleraras o frenaras solo en la misma dirección que ya tienes velocidad, el movimiento será un Movimiento Rectilíneo Acelerado.

Entonces lo que yo saco en conclusión de los que viene en el libro y de lo que me dices es que la diferencia entre está fórmula de la aceleración y la otra la de transversales y radiales, es que en esta última r y theta son las coordenadas polares, referidas al origen del SR y en esta otra, en las intrínsecas r y theta no son referidas al origen del SR, si no al centro de curvatura.

Exacto!!

Y otra cosa que creo entender según lo que dice el libro es que $v=r\dot\theta$ es valido solo en movimiento circular con centro en origen si r es vector de posición, pero según entiendo se pude decir que $v=r\dot\theta$ en cada punto de una trayectoria si r es el radio de curvatura.

Claro, no quiero redundar, pero solo si la trayectoria de la curva se corresponde con una circunferencia si solo si R o r (radio de curvatura) es constante, pero para que coincida con el r del módulo de la distancia al origen , la circunferencia tiene que estar centrada en el origen, y Solo en ese caso el sistema de coordendas de polares coincide con el de intrínsecas , esto es que solo así puedes decir que la componentes $a_n=a_{\rho}$ y que $a_t=a_{\theta}$ en toda la trayectoria.