Divulgación relación lineales y angulares

[China]

[FONT=&quot]Hola, [/FONT]
v=ωr siendo r el radio de curvatura de la trayectoria, en el caso de la trayectoria recta en la que ese radio tiende a infinito, supongo que ω=0, pero no seria v una indeterminación?? [FONT=Open Sans, serif][/FONT]la cuestión es que si tenemos una trayectoria recta, el vector de posición cambia en cada instante y por tanto cambia el angulo que forma con el eje x por ejemplo, por eso me planteaba que tb el mov rectilíneo lo podíamos representar mediante angulares y me surgió eso... pero entiendo que no tiene sentido, pero supongo entonces que en mov rectos no hemos de considerar el [FONT=Open Sans, serif]ángulo[/FONT] de [FONT=Open Sans, serif]variacion[/FONT] del vector de posición, es decir no debemos tener en cuenta coordenadas polares no??

[arivasm]

Re: relación lineales y angulares

Antes de nada. Por favor, no escribas todo en negrita. Parece que nos estás increpando.

En primer lugar, la relación $v=\omega r$ solo es válida en movimientos circulares (y siempre y cuando el origen esté en el centro de la trayectoria). Por supuesto puedes considerar un movimiento rectilíneo como uno circular con radio de curvatura infinito (y entonces con el origen de coordenadas en el infinito!).

En segundo lugar, no debes confundir radio de curvatura con el módulo del vector de posición. Por ejemplo, para una circunferencia de 10 cm de radio el radio de curvatura en todos los puntos de la misma es 10 cm. Ahora bien, si el origen de coordenadas no está en el centro de la circunferencia entonces cada uno tendrá un vector de posición de módulo diferente al de otros puntos.

Como dices, la posición de cualquier punto tanto se puede dar en coordenadas cartesianas, $(x,y)$ (me limitaré a situaciones bidimensionales) como polares $(r,\theta)$, existiendo la relación $x=r\cos\theta$, $y=r\sin\theta$. De esta última relación tenemos que $v_x=\dot r\cos\theta-r\dot\theta\sin\theta$, $v_y=\dot r\sin\theta+r\dot\theta\cos\theta$. De aquí resulta que $v^2={\dot r}^2+r^2(\dot\theta)^2$.

Como vemos, el famoso $v=r\dot\theta=r\omega$ solo es válido si $\dot r=0$, es decir si $r=cte$, que es lo mismo que decir trayectoria circular con centro en el origen de coordenadas.

Ten en cuenta, además, que la velocidad angular depende de cuál sea el sistema de referencia elegido. Así, en un movimiento circular uniforme es diferente para cada punto si el origen de coordenadas no es el centro de la circunferencia. En otras palabras: cuando estudiamos ese tipo de cosas, como $v=\omega r$, es importante estar atentos a los detalles. Seguro que antes por algún sitio nos han dicho "vamos a estudiar los movimientos circulares situando el origen en el centro de la circunferencia"

Nada nos impide estudiar un movimiento rectilíneo empleando coordenadas polares. Por ejemplo, consideremos uno de esta manera: $x=x_0$, $y=vt$, con $x_0\neq 0$, por comodidad. Entonces, $r=sqrt{x_0^2+v^2 t^2}$, de manera que $\dot r=\frac{v^2 t}{r}$ y $\theta={\rm arctg}\dfrac{vt}{x_0}$. Dejo para ti que hagas la derivada y compruebes que en modo alguno obtienes la misma $\dot\theta=\omega$ para todos los puntos.

[China]

Re: relación lineales y angulares

Perdón por la negrita.. me pasó hoy dos veces... hice la derivada del angulo y me sale $vx0/r2$, supongo que acorde a lo que dices que puedo representar en movimiento, pero no se cumplen las relaciones existentes para el movimiento circular.

[China]

Re: relación lineales y angulares

Antes de nada. Por favor, no escribas todo en negrita. Parece que nos estás increpando.

En primer lugar, la relación $v=\omega r$ solo es válida en movimientos circulares (y siempre y cuando el origen esté en el centro de la trayectoria). Por supuesto puedes considerar un movimiento rectilíneo como uno circular con radio de curvatura infinito (y entonces con el origen de coordenadas en el infinito!).

En segundo lugar, no debes confundir radio de curvatura con el módulo del vector de posición. Por ejemplo, para una circunferencia de 10 cm de radio el radio de curvatura en todos los puntos de la misma es 10 cm. Ahora bien, si el origen de coordenadas no está en el centro de la circunferencia entonces cada uno tendrá un vector de posición de módulo diferente al de otros puntos.

Como dices, la posición de cualquier punto tanto se puede dar en coordenadas cartesianas, $(x,y)$ (me limitaré a situaciones bidimensionales) como polares $(r,\theta)$, existiendo la relación $x=r\cos\theta$, $y=r\sin\theta$. De esta última relación tenemos que $v_x=\dot r\cos\theta-r\dot\theta\sin\theta$, $v_y=\dot r\sin\theta+r\dot\theta\cos\theta$. De aquí resulta que $v^2={\dot r}^2+r^2(\dot\theta)^2$.

Como vemos, el famoso $v=r\dot\theta=r\omega$ solo es válido si $\dot r=0$, es decir si $r=cte$, que es lo mismo que decir trayectoria circular con centro en el origen de coordenadas.

Ten en cuenta, además, que la velocidad angular depende de cuál sea el sistema de referencia elegido. Así, en un movimiento circular uniforme es diferente para cada punto si el origen de coordenadas no es el centro de la circunferencia. En otras palabras: cuando estudiamos ese tipo de cosas, como $v=\omega r$, es importante estar atentos a los detalles. Seguro que antes por algún sitio nos han dicho "vamos a estudiar los movimientos circulares situando el origen en el centro de la circunferencia"

Nada nos impide estudiar un movimiento rectilíneo empleando coordenadas polares. Por ejemplo, consideremos uno de esta manera: $x=x_0$, $y=vt$, con $x_0\neq 0$, por comodidad. Entonces, $r=sqrt{x_0^2+v^2 t^2}$, de manera que $\dot r=\frac{v^2 t}{r}$ y $\theta={\rm arctg}\dfrac{vt}{x_0}$. Dejo para ti que hagas la derivada y compruebes que en modo alguno obtienes la misma $\dot\theta=\omega$ para todos los puntos.

Hola, recordaba que en su momento obtuve esta buena explicación en este foro y he tenido que echar mano de ella nuevamente, y me surge una duda con esta formula $v^2={\dot r}^2+r^2(\dot\theta)^2$ el primer termino $\dot r$, no es la derivada del vector de posición, es decir la velocidad??, no lo debe ser porque en ese caso se eliminarían los términos de la velocidad, pero entonces qué es??
Por otro lado, al obtener la aceleración tal como hallaste la velocidad, derivando vx y vy para obtener ax y ay y elevando al cuadrado obtener el modulo de la aceleración, me queda $a^2={(\dot r -r \dot\theta^2)^2}+ (2\dot r\dot\theta + r\dot\theta)^2$, la primera r con punto y la ultima theta con punto deben llevar dos puntos pero no se como poner los dos puntos. La cuestión es que tal como paso con la expresión hallada para la velocidad, si particularizamos a un movimiento circular donde derivadas de r son nulas deberíamos obtener $a=\alpha r$ y o se obtiene por qué?

[Richard R Richard]

pero entonces qué es??

Es velocidad en la dirección radial , solo en esa dirección. es el cambio en la distancia entre los objetos por unidad de tiempo, fíjate que si haces una trayectoria circular la distancia permanece constante y $\dfrac{dr}{dt}=\dot r=0$.

Haciendo una trayectoria circular solo tienes velocidad en dirección tangencial, o lo que es lo mismo haciendo crecer el ángulo $\theta =\omega t$
por lo que la distancia recorrida sobre la circunferencia por unidad de tiempo es $v_t=r\omega=r\dot \theta= r\dfrac{d\theta}{dt}$






para calcular la aceleracion en polares puedes guierta con http://w3.mecanica.upm.es/~goico/mec.../cbd/cbd-b.pdf

[China]

Vale, pero me sigue confundiendo porque no es la definición de velocidad (general) la derivada del vector de posición con respecto al tiempo?? otra cosa los ejes de angular y tranversal a los que se refieren estas coordenadas cambian en cada punto de trayectoria no??

[Alriga]

...el primer término $\dot r$ , ¿no es la derivada del vector de posición, es decir la velocidad?

No. La clave está en que el módulo de la derivada de un vector no es lo mismo que la derivada del módulo del mismo vector.

Supongamos como ejemplo que el radio vector es:

$\vec r=5 \cos 2t \ \hat i+5 \sin 2t \ \hat j$


a) Primero derivamos y después hallamos el módulo:

$\vec v=\dfrac{d\vec r}{dt}=-10\sin 2t \ \hat i+10\cos 2t \ \hat j$

$v=|\vec v|=\left | \dfrac{d\vec r}{dt} \right | =10$


b) Primero hallamos el módulo y después derivamos

$r=| \vec r | = 5$

$\dot r =\dfrac{d | \vec r |}{dt}=0$


Está claro por lo tanto que en general:

$$\dot r =\dfrac{d | \vec r |}{dt} \neq \left | \dfrac{d\vec r}{dt} \right |=v$$

En nuestro ejemplo $0=\dot r \neq v=10$

$\dot r$ es la derivada del módulo del radio vector, que en general no coincide con el módulo de la derivada del radio vector=módulo de la velocidad.

El significado físico de $\dot r$ es el que te ha explicado Richard: es la velocidad a la que varía la distancia: no es la velocidad, que se define como lo que varía la posición en el tiempo. El ejemplo de Richard y el mío es claro: en un movimiento circular, respecto del centro del círculo la distancia no varía y por eso $\dot r =0$ en todo momento, aunque como la posición sí varía, $v \neq 0$

Saludos.

[China]

Muchas gracias, eso me ha quedado aclarado...
pero a ver, estoy mirando en el burbano que para un movimiento curvilíneo cualquiera $v= \frac {dS}{dt} u_t=\frac{\rho d\theta}{dt}.u_t=\rho\dot\theta u_t=\rho\omega u_t$ y dice " omega es la velocidad angular instantánea de la partícula en su movimiento circular alrededor del centro instantáneo de rotación (centro de curvatura) y ut es el vector unitario tangente a la trayectoria", la cosa es que me confunde por que si habíamos quedado que $v=\omega r$ y aquí en este desarrollo, lo está usando para cualquier movimiento curvilineo...pues me lia un poco, algo que me pueda ayudar a entender?

[Richard R Richard]

Hola china, cuando cambias el sistema de referencia de cartesiano a polar, y quieres representar la posición, velocidad y aceleracion de una particular ,o cuerpo etc, no solo cambian los valores de las coordenadas asociada a los nuevo ejes sino que también cambia el módulo y la dirección de esos ejes con respecto al origen del sistema de referencia .
la consecuencia es que el vector tangente a la trayectoria , no tiene siempre la misma dirección ni radial ni angular, entonces varían las coordenadas y también los ejes, luego al derivar debes tratar a los vectores en cartesianas (x.y) como un producto del valor de la coordenada por el vector, y por eso la derivada no da directamente la velocidad sino, que debes desarrollar un producto, y expesar todo en las coordenadas de la nueva direccion radial r y tangencial $\theta$

[China]

Si, eso creo que me queda claro, lo que me confunde es que en los primeros post, según me dijo arivasm creía, que la relación v=omega.R solo se cumple para movimientos circulares.... sin embargo en el libro que menciono burbano usan s=theta R en cualquier movimiento curvilino, donde R no es vector de posición sino radio de curvatura de cada punto de la trayectoria y pensé que s=theta R seria también solo aplicable a movimiento circular, sin embargo como digo lo usan para cambiar de cartesinas a polares en cualquier movimiento, no se si explico mi duda.