2o ciclo Caída al vacío y posterior péndulo.

[JaviG]

Buenos días a todos y mil gracias anticipadas a quien lea esto y decida contestar. En primer lugar, no soy físico y me propongo calcular lo siguiente:

Una persona cae verticalmente un determinado número de metros. Los datos del peso y el número de metros de caída vertical los conozco. Cuando lleva esos metros de caída, no es que impacte con nada, sino que recibe la tensión de una cuerda dinámica que está anclada a un punto fijo, algo por debajo de donde saltó esa persona y no en la misma vertical, sino bastantes metros apartado lateralmente.

El tirón de la cuerda lo recibe en oblícuo y a partir de entonces la persona describe un péndulo. La pregunta es: Si conozco peso, elongación de la cuerda y todas las distancias ¿Hay alguna forma de calcular la fuerza de impacto sufrida en el tirón de cuerda?

Es un caso real e importante. No es curiosidad. Gracias de nuevo.

[alexpglez]

Re: Caída al vacío y posterior péndulo.

Hola, bienvenido al foro!

Tal y como lo describes, si que se puede saber la fuerza o el tirón de la cuerda en ese instante. No me atrevo a escribir una fórmula que modelice el problema, pero si que puedes calcular la fuerza del tirón de la cuerda.

[JaviG]

Re: Caída al vacío y posterior péndulo.

Gracias, Alex. Podría aceptar cierto margen de error. Lo que me interesa es demostrar con números que se ha sobrepasado con creces el valor de 6kn, a partir del cual se considera que una persona sufrirá alguna lesión grave.

La fuerza de impacto yo soy capaz de calcularla. Lo que ocurre es que, como no se produce una parada, sino que empieza a pendulear, no sé cómo calcular la fuerza o energía que se "absorbe" en el péndulo. Desde luego, si hubiese quedado parada, la persona habría muerto; aún así sufrió lesiones graves.

[Richard R Richard]

Re: Caída al vacío y posterior péndulo.

Hola

suponiendo una longitud $l$ de la soga, y una separación $s$ entre el punto de salto y la union de la soga donde $s<l$




si al momento del la maxima tension de la soga tenemos un angulo $\theta$ que cumple $\sin \theta=\dfrac s{l}$

ademas por consideraciones energeticas sabemos que la velocvidad que toma el cuerpo es

$$\frac 12 m v2=mg\Delta h=mgl \cos \theta=\dfrac{mgs} {\tan \theta}$$

$$v=\sqrt{2gl\cos\theta}$$

del cual sabemos cual el es el modulo y dirección de la velocidad inicial al momento en que la soga comienza atener tensión,

si la soga es totalmente inelástica transmite todo el impulso instantaneamente, y la consecuencias son peores, ya que el arnes no cedera, y la fuerza instantane aumenta, cuanto mas brusco el impulso

por lo que podemos tomarnos la licencia y afirmar que la soga se estira el 1 por 1000 de su longitud

$$\Delta x=\dfrac{l}{1000}$$

con esa distancia recorrida a la velocidad v podemos estimar el tiempo en que se aplica el impulso

$$\Delta t=\dfrac{\Delta x}v$$

Sabemos que la fuerza F que aplica la soga es la responsable del cambio de la cantidad de movimiento en direccion y modulo.

Suponiendo que el caso como colisión elástica es decir que se conservas la energia cinetica del cuerpo luego de la aplicación de la fuerza, es decir solo hay un cambio en la dirección del movimiento

tenemos que el impulso es

$$I=\Delta P =F\Delta t=m\Delta V$$

en la direccion horizontal tenemos que la velocidad inicial era nula y luego sale a velocidad $v\cos \theta$ y en la velocidad vetical teniamos $v$ y luego $v\sin\theta$

de donde

$$|F|=\dfrac{|\Delta P|}{\Delta t}=\dfrac{v|\Delta P|}{\Delta x}=\dfrac{mv^2}{\Delta x}\sqrt{\cos^2\theta+(1-\sin\theta)^2}<br />$$

$$|F|=\dfrac{mv^2}{\Delta x}\sqrt{2-2\sin\theta}$$

reemplazando por los valores del los supuestos anteriores

$$|F|=\dfrac{m2gl\cos\theta}{\dfrac{l}{1000}}\sqrt2\sqrt{1-\sin\theta}$$

$$|F|=2000\sqrt2\,mg\sqrt{1-\dfrac s{l}}\sqrt{1-\dfrac{s^2}{l^2}}$$

luego reemplaza con los valores que tengas y comprueba si es mayor o menor que 6000 N que para un cuerpo de 60 kg producen una aceleración de 10 g aproximadamente.

si mejoras la estimaciones que he hecho en base a la elasticidad de la soga y el arnés , a la holgura entre el cuerpo y el arnés, puedes variar el valor de $\Delta x$ que es un factor multiplicador importante en tu cuenta, yo supuse que se estira 1 mm por cada metro , pero puede ser mucho mayor en la práctica.


puedes comprobar que $\theta =90 \°$ el impulso es nulo ya que se trata de un péndulo, y solo estará solicitado al equilibrio de fuerzas centripeta y de la gravedad.

$$F=\dfrac{mv^2}{r}=mg\sin\theta$$

y si $\theta =0\°$ tienes el maximo de impulso , lo que produce la máxima aceleración sobre el cuerpo.

[JaviG]

Re: Caída al vacío y posterior péndulo.

Hola Richard:

La cuerda es una cuerda elástica. No una goma. Dado que en realidad son dos cuerdas y que son viejas, la elongación real que se ha producido es imposible de calcular. Los valores que dan los fabricantes de estas cuerdas son entre un diez y un cuarenta por ciento para este tipo de caída. Doy por hecho que la elongación que se ha producido estará mucho más cerca del diez por ciento que del cuarenta.

Por lo demás, me pierdo con tu desarrollo, especialmente a partir de cuando pones "en la dirección horizontal tenemos..."

[Richard R Richard]

Re: Caída al vacío y posterior péndulo.

me pierdo con tu desarrollo, especialmente a partir de cuando pones "en la dirección horizontal tenemos..."

Cuando cae verticalmente solo tiene velocidad sobre esa direccion, es decir no posee velocidad en la horizontal, cuando la soga se tensa, esta transmite fuerza sobre una diagonal con angulo $\theta$, la velocidad que toma el cuerpo es perpendicular a la dirección de la soga de ese modo se puede dar el movimiento pendular, esa fuerza entonces la que puedes descomponer en dos componentes una vertical y una horizontal.

la componente de fuerza horizontal tiene que acelerar al cuerpo hasta que alcance la velocidad $v\cos\theta$

y en la vertical teníamos una velocidad de caída libre igual a $v$ pero luego de tensar la soga el descenso casi cesa instantaneamente pero continua pero mucho mas lentamente con velocidad $v\sin\theta$

la aceleración sufrida por el cuerpo es la suma vectorial de las componentes horizontal y vertical.

el modulo la aceleración es igual a la fuerza dividido la masa del cuerpo, y también a la diferencia de velocidades, dividido el tiempo en que se aplica dicha aceleración.

Como esos tiempos son breves se habla de impulso o cambio de la cantidad de movimiento del cuerpo y como deliberadamente me propuse que el módulo de la velocidad no se altera para que se conservase así la energía cinetica, solo habrá entonces un cambio en la dirección de la trayectoria del cuerpo, ese cambio de dirección puede ser mas o menos breve como dije , dependiendo del tiempo en que la soga se va estirando, por ello si la soga no se estira, el tiempo es breve y la fuerza se incrementa, lastimando a "TARZAN", en cambio si se estira, tarda más en cambiar de dirección y es mas suave con el cuerpo, pues se reduce el módulo de la Fuerza, y se logra pendular sin daño...

[JaviG]

Re: Caída al vacío y posterior péndulo.

Bueno, vamos a ver si le ponemos cifras a la cosa:

Hay una distancia horizontal de 7,52 metros entre el cuerpo antes de iniciar la caída y el punto de anclaje. Además hay una diferencia vertical de dos metros; es decir, el cuerpo que cae y el punto de anclaje están separados 7,52 metros y se inicia la caída desde dos metros más arriba que el anclaje. La cuerda mide 17,52 metros y en realidad son dos cuerdas de 9 milímetros de diámetro. El cuerpo pesa 56 kg. En cuanto a la elongación de este tipo de cuerdas, los fabricantes se mueven en un margen que va del 10% al 40%, pero teniendo en cuenta que son cuerdas viejas, que son dos actuando a la vez y que no se trata de una fuerza de impacto en el que el cuerpo acabe quieto, yo no le daría ni un diez por ciento a ese valor de elongación.
Por otro lado, no toda la longitud de la cuerda interviene en la elongación por igual, ya que hay un punto de rozamiento un metro por debajo del punto de anclaje.

- - - Actualizado - - -

Otro dato que puede ser de interés para establecer el momento del impacto es que el cuerpo, al caer, se separa al rededor de 1,5 metros más del anclaje, con lo que su distancia horizontal sería de unos nueve metros.

[Richard R Richard]

Re: Caída al vacío y posterior péndulo.

Bueno,

calculo el máximo de la soga elongada con un 10% de estiramiento mínimo que da el máximo desfavorable en fuerza considerando todo el desplazamiento

$\sin\theta=\dfrac {s+ \Delta s}{l+\Delta l}=\dfrac{7.52+1.5}{17.52\cdot (1+10\%)}=0.468\quad\to\quad \theta =28 \°$

suponiendo que el desplazamiento del metro y medio que ahora agregas no crea una velocidad horizontal que cambia el sentido vertical de la caída...

$v=\sqrt{2g(l\cos\theta+d)}=\sqrt{2\cdot 9.81\cdot (17.52\cos\theta+2)}=18.52m/s$


luego

$|F|=\dfrac{mv^2}{\Delta x}\sqrt{2-2\sin\theta}=\dfrac{56\cdot 18.52^2}{0.1\cdot 17.52}\sqrt{2-2\cdot 0.468}=11378 N$

casi el doble de lo tolerable

con una soga que estire un 20% estas dentro del limite...