Secundaria Lanzamiento de un satélite

[Xaora]

Hola, quería ayuda con el siguiente problema. No sé cómo empezar. Dice así:
Una lanzadera a 2400 km de altura sobre la Tierra lanza un satélite a 800 m/s con un ángulo de 75º con la vertical. Calcula altura máxima y mínima del satélite y su velocidad en ambos puntos. Calcula también su período.
DATOS: G, ${R}_{T}$, ${M}_{T}$
Muchas gracias y un saludo!

[arivasm]

Re: Lanzamiento de un satélite

Ese ejercicio puede entenderse de diferente manera dependiendo de si la velocidad del satélite es relativa al planeta o a la lanzadera. En el segundo caso la única diferencia está en que hay que determinar, mediante composición de velocidades, la del satélite respecto del planeta.

A partir de ahí se trata de aplicar la conservación del momento angular y de la energía. Se llega a una ecuación de 2º grado, bien en velocidades, bien en distancias, que proporciona los datos para perigeo y apogeo.

El problema con 800 m/s relativos al planeta es que el perigeo es inferior al radio de la Tierra, lo que significa que el satélite se estrella contra la superficie del planeta. Por tanto, la interpretación más correcta es la de velocidad relativa.

El período se determina con la 3ª ley de Kepler en la forma $\dst T=2\pi\sqrt{\frac{a^3}{GM_T}}$.

Por supuesto, si los 800 m/s son relativos al planeta el período no es el que tiene el satélite (pues como dije antes, se estrella), sino el que tendría si pudiese completar su órbita.

[Richard R Richard]

Re: Lanzamiento de un satélite

Quiza llegue a algun resultado que no choque con la superficie si "supone" aunque el problema no lo enuncia, que la lanzadera orbita la tierra en una trayectoria circular...

con ello tenemos que la velocidad radial de la lanzadera es nula y la tangencial $v_L=\sqrt{\dfrac{GM_T}{R_L}}$

luego al ser lanzado "suponiendo que se lo lanza en el mismo sentido que la velocidad de la lanzadera" la velocidad radial del satélite sera $v_{sR}=800\cos75\°$ y la velocidad tangencial sera la suma de la velocidad de la lanzadera mas la relativa del satélite $V_{sT}=v_L+800\sin75\°$ , si fuera lanzada en sentido contrario usaría el signo negativo para la velocidad relativa.

el momento angular sera $l=|L|=|mV_{sT}R_L|$ que será una constante en el problema

la energía mecánica inicial de la órbita será

$E_m= \dfrac12 m v_{sR}^2+\dfrac {l^2}{2m R_L^2}-\dfrac{GM_Tm}{R_L}$


cuando la altura es máxima o minima la velocidad radial es nula y como la energía mecánica se conserva tenemos


$E_m= \dfrac {l^2}{2m R^2}-\dfrac{GM_Tm}{R}$

esta es la ecuación de segundo grado de la cual debes despejar R mediante una cuadrática , uno será el máximo (apogeo $a$) y el otro el mínimo perigeo , si alguno es inferior al radio de la tierra inevitablemente chocara con ella.

el periodo lo sacas con la tercera ley de Kepler con la formula que te paso arivasm.

[Xaora]

Re: Lanzamiento de un satélite

Perdona arivasm, pero no entiendo la diferencia que me dices, a la hora de plantear el problema, entre una cosa y otra. Entre que la velocidad sea relativa a la Tierra o relativa a la lanzadera.

[arivasm]

Re: Lanzamiento de un satélite

Imagino que te refieres a un problema de oposiones de Galicia. La cuestión está en que el enunciado no aclara en qué sistema de referencia se mide esa velocidad de 800 m/s, por lo que se presta a varias interpretaciones. Desde luego, ya sin hacer números, si se refiere a la velocidad medida en un SR ligado al planeta es insuficiente para que el satélite no choque contra la superficie, lo que no impide que se puedan hacer los cálculos que señalé antes. De hecho, salvo por la determinación previa de la velocidad del satélite respecto de la Tierra (si la velocidad se considera relativa a la lanzadera), los cálculos son exactamente los mismos.

- - - Actualizado - - -

Por aquello de ayudar a Xaora, ahora que tengo algo más de tiempo, voy a poner mis números.

Consideremos el caso en que el dato se entienda como que los 800 m/s son en un sistema de referencia ligado al planeta, aunque lo pequeño de esa velocidad implique un castañazo de narices contra la superficie del mismo.

Llamemos $r_0$ a la distancia al centro del planeta del punto de lanzamiento, $v_0$ a la velocidad del satélite respecto del planeta y $\theta$ al ángulo que forma dicha velocidad con la vertical. Análogamente, $r$ será la distancia al centro del planeta en el perigeo/apogeo y $v$ la velocidad en dichos puntos. Tenemos dos leyes de conservación, la del momento angular, que por unidad de masa toma la forma

$$\dst l=\dfrac{L}{m}=r_0v_0\sin\theta=rv$$

y la de la conservación de la energía mecánica, que por unidad de masa toma la forma

$$\dst \varepsilon=\dfrac{E}{m}=\dfrac{1}{2}v_0^2-G \dfrac{M_T}{r_0}=\dfrac{1}{2}v^2-G \dfrac{M_T}{r}$$

Observemos que como conocemos $r_0=\notcien{8,77}{6}\ \rm m$ y $v_0=800\ \rm m/s$ sabemos los valores de ambas cantidades: $l=\notcien{6,778}{9}\ \rm m^2/s$ y $\varepsilon=-\notcien{4,519}{7}\ \rm m^2/s^2$.

Despejando en (1) $v=l/r$ y llevándolo a (2) tenemos

$$\varepsilon=\dfrac{l^2}{2 r^2}-G\dfrac{M_T}{r}$$

Es decir, tenemos la ecuación de segundo grado

$$2\varepsilon r^2+2GM_T r-l^2=0$$

cuyas soluciones son las distancias al centro de la Tierra en el perigeo y en el apogeo que, si no me he equivocado con los cálculos, son:

$r_p=57,9\ \rm km$
$r_a=8774\ \rm km$

Como vemos, el perigeo es imposible, debido a que se daría en el interior de la Tierra. Por lo tanto, el satélite simplemente se estrella contra su superficie. La altura máxima por supuesto será simplemente 2404 km.

Con respecto al período, que obviamente sería el que tendría si no hubiese dicha colisión, basta con aplicar

$$T=2\pi\sqrt{\frac{a^3}{GM_T}}=2\pi\sqrt{\frac{(r_a+r_p)^3}{8GM_T}}$$

Lo que conduce a un resultado de 0,81 h.

Evidentemente, la interpretación más adecuada del enunciado no es ésa de que los 800 m/s son la velocidad del satélite medida en un SR ligado a la Tierra, sino relativa a la lanzadera. Así pues, procedamos a recalcularlo todo, pero empezando por determinar cuál es la velocidad del satélite respecto de la Tierra.

Consideraré que la órbita de la lanzadera es circular (entendiendo que esos 2400 km de altura se mantienen en toda su órbita), de manera que su velocidad es horizontal y de valor

$v_L=\sqrt{G\dfrac{M_T}{r_0}}=6744\ \rm m/s$

Si tomamos un SR con el eje X horizontal y el Y vertical, como la velocidad relativa del satélite a la lanzadera es $\vec v_s=800(\sin 75\º,\cos 75\º)\ \rm m/s$, mientras que la de la lanzadera es $(v_L,0)$ sumando ambos vectores tenemos la velocidad del satélite respecto de la Tierra. Si no me equivoco, encontramos que vale $\vec v_0=(7516,207)\rm m/s$.

De este modo el ejercicio continúa exactamente igual que antes, salvo que ahora $l=\notcien{6,61}{10}\ \rm m^2/s$ y $\varepsilon=-\notcien{1,72}{7}\ \rm m^2/s^2$. Con estos datos ahora el satélite ya no se estrella contra el planeta, pues $r_p=8750\ \rm km$ (altura 2380 km) y $r_a=14440\ \rm km$ (altura 8070 km). Para el período obtengo 3,5 h.

Ojo porque alguno de estos cálculos están hechos con demasiada prisa. Revísalos. Solo aseguro el procedimiento.

[Xaora]

Re: Lanzamiento de un satélite

Perfectamente explicado arivasm, pero me queda una única duda. Cuando calculas el momento angular utilizas las dos componentes de la velocidad o sólo la del eje X? Y en relación con esto, qué ángulo $\theta$ se usa?
Muchas gracias y un saludo!

[arivasm]

Re: Lanzamiento de un satélite

En la primera interpretación conoces el módulo de la velocidad y el ángulo con la vertical (y entonces con el vector $\vec r$), con lo que $l=r_0v_0\sin\theta$. En la segunda, tal como la he escrito yo, sabes que $\vec r_0=(0,\notcien{8,8}{6},0)\ \rm m$ y $\vec v_0=(7516,207, 0)\ \rm m/s$, con lo que $\vec l=\vec r_0\times\vec v_0$ (por supuesto sólo tendrá componente z, de manera que $l=r_0v_{0,x}$).

Por supuesto, en realidad ambos cálculos son el mismo. Los indico así para aclarar cómo obtenerlos a partir de los datos o valores calculados.

[Xaora]

Re: Lanzamiento de un satélite

Muchísimas gracias. Perfectamente explicado.
Un saludo!

[arivasm]

Re: Lanzamiento de un satélite

Suerte, Xaora!

[Xaora]

Re: Lanzamiento de un satélite

Una última cosa que se me había olvidado de preguntar. Me podías aclarar cómo se obtiene la fórmula del período:

$T=2\pi\sqrt{\frac{{a}^{3}}{G{M}_{T } }}=2\pi\sqrt{\frac{{({r}_{a}+{r}_{p})}^{3}}{8G{M}_{T}}}$

Y sobre todo de dónde viene ese 8.
Un saludo y gracias!

[Richard R Richard]

Re: Lanzamiento de un satélite

Una última cosa que se me había olvidado de preguntar. Me podías aclarar cómo se obtiene la fórmula del período:

$T=2\pi\sqrt{\frac{{a}^{3}}{G{M}_{T } }}=2\pi\sqrt{\frac{{({r}_{a}+{r}_{p})}^{3}}{8G{M}_{T}}}$

hola Xoara puedes verlo al leer este blog

http://forum.lawebdefisica.com/entri...-ley-de-kepler

Y sobre todo de dónde viene ese 8.
Un saludo y gracias!

el valor de $a$ es el semieje mayor de la elipse y se calcula como la semisuma (promedio)del radio en el apoastro y periastro

$a=\dfrac{{r}_{a}+{r}_{p}}2$


el elevarlo al cubo por la formula de la tercera ley de que Kepler el 2 del denominador al cubo se convierte en 8

$a^3=\left [\dfrac{{r}_{a}+{r}_{p}}2\right]^3=\dfrac{({r}_{a}+{r}_{p})^3}8$

[arivasm]

Re: Lanzamiento de un satélite

Tan solo comentar se trata simplemente de la 3ª ley de Kepler, que curiosamente mucha gente recuerda para órbitas circulares, olvidándose que establece la proporcionalidad entre el cubo del semieje mayor y el cuadrado del periodo orbital.

$\dst T^2=Ka^3$

La demostración de que la constante es $K=\dfrac{4\pi^2}{GM}$ es un tanto larga (yo conozco otra diferente de la que creo ver en el blog de Ángel), pero es fácil reconocerla al comparar con el caso particular de la órbita circular, en la que $a=r$

$\dst T^2=\dfrac{4\pi^2}{GM}r^3$