Secundaria Movil a velocidad constante en una trayectoria eliptica

[plz]

Hola
Necesito orientación para saber las ecuaciones del movimiento de un móvil que se desplaza a velocidad constante por una trayectoria elíptica, digamos un automovil que va a 300km/h constantes en el circuito de Indianapolis (suponiendo que este sea elíptico)

${(x/a)}^2+{(y/b)}^2 = 1$


Cual seria por ejemplo la ecuación del angulo de rotación en función del tiempo?
y x(t) , y(t)?

Gracias!

[Alriga]

Re: Movil a velocidad constante en una trayectoria eliptica

Hola plz. El circuito de Indianápolis no es para nada ni se parece en nada a una elipse. El circuito consta de 2 rectas largas de 1000 m cada una y dos rectas cortas de 200 m cada una, unidas por 4 cuartos de círculo (4 curvas) de 400 m de arco cada una.

Saludos.

[plz]

Re: Movil a velocidad constante en una trayectoria eliptica

Hola plz. El circuito de Indianápolis no es para nada ni se parece en nada a una elipse. El circuito consta de 2 rectas largas de 1000 m cada una y dos rectas cortas de 200 m cada una, unidas por 4 cuartos de círculo (4 curvas) de 400 m de arco cada una.

Saludos.

bien... ha sido un mal ejemplo... pero reitero mi pregunta sobre la trayectoria eliptica a velocidad constante...

[Richard R Richard]

Re: Movil a velocidad constante en una trayectoria eliptica

Tienes que resolver la ecuación de la distancia recorrida siguiendo la trayectoria, imponiendo la condición de que el módulo de la velocidad es constante, no te sirven las ecuaciones de conservación de la energía ni del momento angular, ya que tu planteo propone abandonarlas.
La distancia recorrida es

$s =\phi(t)= \int_{a}^{t} \sqrt{\left [ x'(\tau) \right ] ^2 + \left [ y'(\tau)\right ]^2 } \, d\tau$

http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica_/n...ud_elipse.html

Luego tienes que aplicar el teorema fundamental del cálculo, para relacionar el tiempo con la posición.
https://www.gaussianos.com/calcular-...-una-integral/

[Alriga]

Re: Movil a velocidad constante en una trayectoria eliptica

Se me ocurre una manera aparentemente algo más sencilla de obtener la ecuación diferencial que debe cumplir la trayectoria elíptica de celeridad constante. Partimos de una parametrización sencilla de la elipse en el plano que es:

$\vec r=a \cos u \ \vec i+ b \sin u \ \vec j$

Se puede ver fácilmente que realmente corresponde a una elipse de semiejes "a" y "b" simplemente comprobando que:

$\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$

Los semiejes "a" y "b" son datos. La incógnita del problema es cómo debe ser la función $u=u(t)$ para que el módulo de la velocidad sea constante.

Para la derivada temporal usamos la nomenclatura $\dot u=\dfrac{du}{dt}$

El vector velocidad:

$\vec v=\dfrac{d\vec r}{dt}=\dfrac{d\vec r}{du}\cdot \dfrac{du}{dt}$

$\vec v=-a \dot u \sin u \ \vec i+ b \dot u \cos u \ \vec j$

Suponemos conocido (es un dato), el módulo de la velocidad $v$, ello nos permite escribir:

$v^2=||\vec v||^2=a^2 \dot u^2 \sin^2 u+ b^2 \dot u^2 \cos^2 u$

Por lo tanto, la ecuación diferencial a resolver es:

$$a^2 \dot u^2 \sin^2 u+ b^2 \dot u^2 \cos^2 u-v^2=0$$

Aparentemente es una ecuación diferencial ordinaria de primer orden no lineal, pero operando se pueden separar variables:

$\sqrt{a^2 \sin^2 u +b^2 \cos^2 u} \ du =v \ dt$

$$\dst \int \sqrt{a^2 \sin^2 u +b^2 \cos^2 u} \ du =v \cdot t$$

De la misma manera que la integral que proporciona la longitud de la elipse no se puede expresar mediante funciones habituales, esta integral tampoco proporciona como solución una función $u=u(t)$ expresable mediante funciones habituales, hay que hallar soluciones numéricas o en forma de series para cada caso particular.

... Cual sería por ejemplo la ecuación del ángulo de rotación en función del tiempo? ...

Una vez obtenida la función $u(t)$ se puede calcular la evolución temporal del ángulo $\theta (t)$, (ángulo formado por el radio vector desde el centro de la elipse respecto del eje de abcisas), ya que como es sencillo demostrar, la relación entre ambos parámetros es:

$\cos^2 \theta (t)=\dfrac 1 {1+\dfrac{b^2}{a^2} \tan^2 u(t)}$

...¿ Cual sería ... x(t) , y(t) ? ...

$x(t)=a \cos u(t)$

$y(t)=b \sin u(t)$

Saludos.