1r ciclo Sobre el movimiento de dos cuerpos como uno continuo

[Antoine Lavoisier]

Salut à tous!

Quería preguntaros acerca de una duda que me he hecho en un ejercicio de Dinámica de una Partícula (1º Curso), en el cual hay dos bloques cuadrados apoyados en una superficie lisa, el uno junto al otro. Tienen distintas masas M y m.
Se ejerce una fuerza F sobre un bloque, y se pregunta sobre el movimiento del sistema y las fuerzas en este.


He sabido resolver el ejercicio consultando la primera parte de la solución, según esta para obtener la aceleración del sistema, consideramos que la fuerza se ejerce sobre un cuerpo de masa igual a la suma de M y m, pero siendo dos cuerpos separados no encuentro porque podemos suponer esto así. Aunque es bastante obvio, he intentado encontrar una demostración para convencerme y no me ha salido

Lo que yo planteo es que, en un instante inicial [FONT=sans-serif]Δt, [/FONT]la fuerza empuja al primer bloque y se transmite totalmente al segundo bloque, mientras que la fuerza de reacción del segundo detiene al primero. Entonces, el segundo bloque recibe la fuerza F y se desplaza un espacio infinitesimal [FONT=sans-serif]Δx. Supongo aceleración constante para usar las ecuaciones de MRUA.

[/FONT][FONT=sans-serif]

[/FONT]

$$\Delta x = \frac{1}{ 2} \frac{F}{m }{\Delta {t}_{ 1}}^{ 2}$$

[FONT=sans-serif]
[/FONT]

$$\Delta x = \frac{1}{ 2} \frac{F}{M }{\Delta {t}_{ 2}}^{ 2}$$

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]
[FONT=sans-serif]Despejo el siguiente término a partir de las ecuaciones 1 y 2:

[/FONT]

$$2\Delta {t}_{1 }\Delta{t}_{2 } = 2 \sqrt{{2}^{ 2}\frac{{\Delta x}^{2 } M m}{ {F}^{ 2}}} = 4 \frac{\Delta x}{ F} \sqrt{Mm}$$

$$a = \frac{2 \Delta x}{\frac{2 \Delta x m}{F } + \frac{2 \Delta x M}{F } + 4 \frac{\Delta x}{ F} \sqrt{Mm}}$$

$$a = \frac{F}{M + m + 2\sqrt{Mm} }$$

$$F = (M + m + 2\sqrt{Mm})a = {(\sqrt{M} + \sqrt{m})}^{2 }a$$

Cuando el segundo bloque ha recibido un "empujoncito" el primer bloque recorre el espacio [FONT=sans-serif]Δx [/FONT]que los separa, en un tiempo mayor o menor dependiendo de su masa. Una vez que el primer bloque esta en contacto con el segundo de nuevo, se repite el proceso, de forma que los bloques se van moviendo a "empujoncitos" infinitesimales.

La ecuación real, no es así, sino que simplemente supone que el sistema se comporta como si ambos bloques formasen un solo cuerpo.

$$F = (M + m)a$$

[FONT=sans-serif]
[/FONT][FONT=sans-serif]No se si es que mi explicación del movimiento esta mal, si es que planteo mal las fuerzas (que F actua sobre M desde m) que me equivoco en las ecuaciones, que está todo mal, y tampoco se como "demostrar" esta formula o si simplemente no hay demostración, directamente tomamos los dos cuerpos como un sistema ya que están el uno junto al otro. La verdad es que me quede con la curiosidad después de hacer estos cálculos, y me ayudaría a entender estos conceptos si supieseis explicarlo.[/FONT]

[FONT=sans-serif]Muchas gracias!!![/FONT]

[arivasm]

Re: Sobre el movimiento de dos cuerpos como uno continuo

No hace falta hacer nada de lo que planteas. De hecho está simplemente mal.

Basta con tener en cuenta cómo es la 2º ley de Newton para un sistema de partículas: la resultante de las fuerzas exteriores es igual a la masa del sistema por la aceleración del centro de masa del mismo.

Así pues, todo es cuestión de cómo elijamos el sistema.

Aunque no aclaras si hay rozamiento o no, etc. si se trata de cuerpos sobre una superficie horizontal y sin rozamiento tenemos que, eligiendo como sistema el formado por ambos objetos entonces $F=(M+m)a$. Fíjate que en este caso encontramos la aceleración del cdm, pero no la fuerza interna que se ejerce entre ambos cuerpos.

Si elegimos como sistema cada uno de ellos por separado, si se mantienen pegados entre sí entonces ambos poseen la misma aceleración, que será igual a la $a$ anterior. Por tanto, si llamamos $f$ a la fuerza que se ejerce entre ellos tenemos que, para el cuerpo de la derecha, $f=Ma$, y para el de la izquierda, habida cuenta de la ley de acción y reacción, $F-f=ma$. Por supuesto, sumando miembro a miembro ambas ecuaciones obtenemos la misma de antes, $F=(M+m)a$.

[Antoine Lavoisier]

Re: Sobre el movimiento de dos cuerpos como uno continuo

Vale, entonces ya veo cual era lo que hacía mal, suponía que toda la fuerza se transmite al segundo bloque cuando es la aceleración lo que ambos comparten, mientras que la fuerza que actúa sobre M es distinta que la que actúa sobre m, también sabía lo de la 2º Ley de Newton pero no sabía demostrarlo.Muchas gracias!!!