Otras carreras Diagrama de momentos flectores y fuerzas cortantes de viga hiperestática

[Mario_aero92]

Hola buenas!

Estoy atascado intentando resolver la distribución de momentos flectores y fuerzas cortantes de esta viga:


Tiene rotaciones y desplazamientos restringidos en el extremo derecho y rotaciones y desplazamiento horizontal restringido en el izquierdo.

¿Alguna idea de como resolverlo para obtener la distribucion de momento flector y fuerza cortante a lo largo de la viga?

Gracias de antemano!

[iaanmartinez]

Re: Diagrama de momentos flectores y fuerzas cortantes de viga hiperestática

Hola Mario!

En realidad hay diferentes maneras, que permiten resolver el sistema que presentas.
Yo lo que suelo hacer y he hecho estos años es plantearme la hipotética deformación de la viga. Verás que la carga P que se aplica en el vínculo de la izquierda, produce una flexión hacia arriba ( o en sentido horaria respecto del extremo derecho), por lo que la flecha de la viga irá lógicamente hacia arriba (esto es, la deformación de la viga en la dirección de P)

Analizado esto, se puede proceder planteando ecuaciones de equilibrio, tanto de momento como de desplazamientos. Al plantear esto te encontrarás con que no puedes resolver, por el hecho de que hay más incógnitas que ecuaciones disponibles, esto ocurre porque las condiciones de vínculo son mayores a los grados de libertad del sistema. En este, los grados de libertad (GL) son 3, por ser un sistema plano (desplazamiento en dos direcciones y rotación alrededor de un eje), pero las condiciones de vínculo (CV) son 3 en el empotramiento (este en si es suficiente para restringir los grados de libertad del sistema), y se le suman las condiciones de vínculo del extremo izquierdo.

Ahora bien, un método consiste en aplicar lo que se conoce como "viga equivalente", pero no quiero meterme por ahí sin antes saber si has oído hablar de eso.
Otro de los métodos consiste en resolver en función de la "compatibilidad de deformaciones".
Y un método más también es el teorema de castigliano.

Espero respuesta para seguir orientando, saludos

[Mario_aero92]

Re: Diagrama de momentos flectores y fuerzas cortantes de viga hiperestática

Hola!

Gracias por la respuesta!

Si, he escuchado sobre estos métodos para resolver vigas hiperestáticas. Lo que pasa, aunque no lo mencioné en el post, es que quiero hallar el desplazamiento usando la teoría de vigas de Timoshenko, no la de Euler-Bernoulli. Entonces, no estoy muy seguro de si estos métodos seguirían siendo aplicables. ¿Tú como lo ves?

Gracias!

[iaanmartinez]

Re: Diagrama de momentos flectores y fuerzas cortantes de viga hiperestática

Bueno, la teoría de vigas de Timoshenko lo que hace en realidad es trabajar por superposición de efectos. Por lo que voy a proceder de esa forma, si después crees que no era esta me dices.


Tomaré la viga que se te plantea y analizaremos las reacciones que ocurren en los apoyos.

En sí la primera simplificación que podemos hacer es que las reacciones horizontales (Ra y Rb) son nulas, por la simple razón que no hay carga axial aplicada al sistema, y tampoco se requiere alguna reacción interna de la viga, porque las axiales no generan momento a lo largo del eje de la viga (siempre que esten aplicadas en los vínculos).

Dicho esto nuestro sistema se reduce a 3 incógnitas, 2 de momentos Ma y Mb y una de fuerza en sentido vertical, Rb.
Ahora bien, Rb puede calcularse fácilmente, veamos:

$\sum{F}_{y} = P + {R}_{b} = 0 \Rightarrow \text{Condicion de Equilibrio}$
${R}_{b} = -P (\downarrow) \Rightarrow \text{Lo que indica que es opuesto al sentido supuesto inicialmente}$

Bien, ahora, por otro lado, tenemos dos incógnitas que son los Momentos reactivos en los vínculos extremos, planteamos entonces, una ecuación de momento en A (se plantea en A porque esta sección tiene restringido tanto el desplazamiento como la rotación, y se puede plantear el equilibrio):

$\sum{M}^{b}= Ma+Mb+P\times L = 0 \Rightarrow \text{Condicion de Equilibrio}$
$Ma+Mb = -P\times L$ (I)

Bien, ahora podemos notar que nos quedamos sin ecuaciones de equilibrio para resolver el sistema.
El método que Timoshenko plantea consiste en separar nuestro sistema inicial en dos sistemas isostáticos de carga tal que se pueda plantear superposición de efectos, seguramente te preguntarás cuales son esos dos sistemas, bueno, uno sería, suprimiendo la restricción de giro en el apoyo B por ejemplo y dejar el sistema isostático formado por la carga P, con su registrón de giro (en A). Resultando:

Ignora los valores, los he cargado en un software con el simple propósito de visualizar la gráfica.

El sistema isostático es resoluble por met convencionales (Equilibrio), y puedes corroborarlo, se obtiene que el momento en A es ${M}_{1a} = -P\times L$
Por ahora solo nos interesa el momento, luego veremos que más hay que saber de este sistema, que de momento llamaremos sistema 1.

El segundo sistema que hay que plantear sería uno que contenga los momentos reactivos y no tenga aplicada la carga, por ejemplo, uno que cumpla con dichas condiciones sería una viga en cuyo extremo izquierdo tenga aplicado el momento reactivo Ma ; y en cuyo extremo derecho no permita desplazamientos, y tenga aplicado el momento reactivo Mb. Se muestra:

El sistema isostático también se resuelve por equilibrio y puedes corroborar que:
${M}_{a} = {M}_{b}$ (II)

Con (II), reemplazando en (I):

${M}_{a} = {M}_{b} = M \Rightarrow 2M = -P\times L \Rightarrow M=\frac{-P*L}{2}$

Conocidos Ma y Mb analizas cada sección y te debería quedar el diagrama de momentos.

[Mario_aero92]

Re: Diagrama de momentos flectores y fuerzas cortantes de viga hiperestática

Muchas gracias por la explicación tan detallada! Ahora lo entiendo perfectamente!

[Mario_aero92]

Re: Diagrama de momentos flectores y fuerzas cortantes de viga hiperestática

Hola!

Estoy volviendo a revisar tu respuesta y me he dado cuenta de que hay algo que sigo sin entender.

Entiendo que separas el sistema inicial en dos sistemas para poder tener otra ecuación que te relaciona las variables del sistema y así poder resolver el problema. Lo que no entiendo es por qué en el sistema 1 la reaccón en A es Ma1, mientras que en el sistema 2 la reacción en A es la total, Ma. ¿No debería ser Ma2? Es decir, por qué solo puedes combinar la ecuación que te sale del sistema 2 con la inicial y no la que obtienes del sistema 1 con la inicial? Ese es el paso que no veo.

Gracias de antemano!