2o ciclo Partícula en disco rotante

[elmecama]

Hola! Vuelvo al foro para ver si estoy resolviendo bien un ejercicio. Tengo ciertas dudas que ya explicaré.

Resulta que tenemos un disco que gira con velocidad angular constante $\omega_1$ respecto a su centro (que está fijo). Solidaria al disco hay una guía radial rugosa sobre la que se mueve una partícula de masa $m$. El coeficiente de rozamiento entre la partícula y la guía es $f$. La partícula se encuentra inicialmente en reposo respecto a la guía, a una distancia $b$ del centro del disco. No hay peso.

Dejo una imagen para que quede más claro:



Tengo que encontrar la ecuación de movimiento.

Lo que hice fue considerar primero las fuerzas radiales y luego la tangencial.

De las fuerzas radiales, considero la de fricción y la generada por la velocidad angular, por lo que la fuerza total es:

$F_t=f_{roz}+m\omega_1 ^2 r$

Entonces, la ecuación de movimiento quedaría:

$m \ddot r=f_{roz}+m\omega_1 ^2$

Ahora, tengo que encontrar una expresión para la fuerza de rozamiento. Para esto, trabajo con la normal, que actúa en la componente tangencial del disco.
Como la partícula va a moverse sobre el radio del disco, y éste tiene velocidad angular constante, la velocidad tangencial de la partícula va a cambiar. Esta aceleración es la derivada de la velocidad:

$v_t = \omega_1 r \rightarrow \dot v_t=\omega_1 \dot r$

Por lo tanto, la normal es:

$N=m\dot v_t = m\omega_1 \dot r$

Entonces, sustituyendo la fuerza de rozamiento por el producto de la normal por el coeficiente de rozamiento, la ecuación de movimiento queda:

$\ddot r= \omega_1^2 r + f\omega_1 \dot r$


No sé si lo estoy haciendo bien, porque razonándolo de otra manera, la normal debería ser igual y opuesta a la fuerza de Coriolis que la particula sufriría de no estar sujeta a la guía. Pero la fuerza de Coriolis es $2\omega_1 m \dot r$, por lo que el resultado sería diferente.

No sé si está bien considerar la fuerza de Coriolis en este problema, porque la partícula no se mueve libremente. Pero me parece razonable que la guía simplemente actúe de 'compensador' de la fuerza de Coriolis, por lo que debería ser igual...

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Ta, ya sé cómo resolverlo. Igual me queda la duda de por qué de la forma en que lo resolví antes está mal...

Lo que hice ahora es escribir la aceleración de forma genérica en coordenadas polares, y escribir la ecuación de movimiento para cada dirección (radial y tangencial) con la fuerza de rozamiento y la normal respectivamente. Entonces, me queda:

$\ddot \vec r = (\ddot r - \omega_1 ^2 r)\hat{e_r} + (\dot \omega_1 r + 2\dot r \omega_1)\hat {e_{\varphi}}$

Por lo que las ecuaciones de movimiento quedan:

$m(\ddot r - \omega_1^2 r)= -fN$

$2m\dot r \omega_1 = N$

Juntando las ecuaciones:

$\ddot r = -2f\dot r \omega_1 + \omega_1 ^2 r$

Eso está bien porque está en el solucionario (jeje).

Ahora me queda claro que la normal sí es la 'compensación' de la aceleración de Coriolis, pero aun me queda la duda de por qué lo que pensé al principio está mal...

[arivasm]

Re: Partícula en disco rotante

me queda la duda de por qué lo que pensé al principio está mal...

La primera cosa que suena mal es el uso de fuerzas ficticias:

De las fuerzas radiales, considero la de fricción y la generada por la velocidad angular, por lo que la fuerza total es:

Tampoco suena correcto esto otro

la normal sí es la 'compensación' de la aceleración de Coriolis

La cosa es mucho más simple: las leyes de Newton conviene aplicarlas en sistemas de referencia inerciales, y sin necesidad de introducir fuerzas ficticias.

Así pues: si llamamos $\varphi$ al ángulo que forma la varilla con una dirección determinada, la fuerza resultante sobre la partícula tiene por componentes radial $F_r=fN$ (la $r$ se refiere a la coordenada, no al rozamiento) y perpendicular (es decir, en el sentido de $\vec u_\varphi$) $F_\varphi=N$

Como las componentes de la aceleración en coordenadas polares son $a_r=\ddot r-r\dot\varphi^2=\ddot r-r\omega^2$ y $a_\varphi=2\dot r\dot\varphi+r\ddot\varphi=2\dot r\omega$ (pues $\ddot\varphi=\dot\omega=0$) la aplicación de la segunda ley es $fN=m(\ddot r-r\omega^2)$ y $N=m\ 2\dot r\omega$

Y como ves, "no hay más leña que la que arde". Es decir, es lo que has escrito en la segunda parte de tu mensaje, pero sin Coriolis ni nada por el estilo.

Con respecto a qué falla en la primera fíjate que, desde el punto de vista de las expresiones, la discrepancia está en que llegas a $N=m\ \dot r\omega$ en lugar de $N=m\ 2\dot r\omega$. Obviamente, el razonamiento que usas al respecto no es correcto, no es cierto que $\dot v_\varphi=\dot r\omega$, porque aunque es cierto que $v_\varphi=r\omega$ te está faltando tomar en consideración que el vector $\vec u_\varphi$ varía con el tiempo.

Mírate el enlace que te puse antes, para ver cómo es en realidad el tratamiento de las componentes de la aceleración en coordenadas polares.