1r ciclo Sistema masa resorte

[surrealfrog]

Se me ocurrió una duda que preguntó otro estudiante hoy en clases y el profesor no le supo responder adecuadamente según mi parecer.
Bueno, tenemos el sistema masa resorte en posición vertical, es decir, una masa colgando del extremo de un resorte. El profesor dice que la energía se conserva y escribe lo siguiente:
$E= {E}_{p } + {E}_{c } = \frac{1}{2 }k{x}^{2 } + \frac{1}{ 2}m{v}^{2 }$
Y dice que la energía total se mantiene constante
O sea que para la energía potencial considera sólo la energía potencial elástica.
La pregunta es que si la masa oscila en el eje vertical, entonces hay una variación de la altura respecto del nivel de referencia y entonces hay una variación de la energía potencial gravitatoria, por lo tanto la energía no es constante. Lo que nos dijo el profesor es que en movimiento armónico simple la amplitud del movimiento debe ser muy pequeña, entonces la variación de la altura es despreciable y la variación de la energía potencial gravitatoria se podría considerar sólo como un desarrollo perturbativo, o sea, que no afecta a que la energía se mantiene constante.
¿Les parece correcta esta respuesta? A mí no me convence del todo, pienso que se debería considerar también la energía potencial gravitatoria, tal vez como amortiguamiento o algo así.

[arivasm]

Re: Sistema masa resorte

La pregunta es que si la masa oscila en el eje vertical, entonces hay una variación de la altura respecto del nivel de referencia y entonces hay una variación de la energía potencial gravitatoria, por lo tanto la energía no es constante. Lo que nos dijo el profesor es que en movimiento armónico simple la amplitud del movimiento debe ser muy pequeña, entonces la variación de la altura es despreciable y la variación de la energía potencial gravitatoria se podría considerar sólo como un desarrollo perturbativo, o sea, que no afecta a que la energía se mantiene constante.

No es una justificación correcta. Tampoco es cierto, que al incluirla no se conservará la energía, algo que podemos anticipar al considerar que las dos fuerzas que participan son conservativas.

Supongamos un resorte elástico de longitud natural $l_0$ al que se le une una masa $m$, y que cumple la ley de Hooke para todas sus longitudes, es decir, que en ningún caso el movimiento le haga salir fuera de la región de proporcionalidad entre fuerza elástica y deformación.

Llamemos $\Delta l$ a la longitud actual del resorte menos la natural, es decir, su deformación, $\Delta l=l-l_0$.

En la posición de equilibrio la deformación cumple que

$$k\Delta l_{eq}=mg$$

Como la masa está sometida a dos fuerzas conservativas, su peso y la elástica, para cualquier posición se cumplirá que la energía mecánica será

$$E=\frac{1}{2}mv^2+\frac{1}{2}k\Delta l^2+mgh$$

donde, como siempre, hemos de elegir un $h=0$. A este respecto observemos que, como es habitual, cambiar el origen para la energía potencial gravitatoria simplemente añadirá una constante a las $h$, lo que equivale a añadir una cantidad constante a las energías.

Sea $x$ la elongación del sistema. También por fijar ideas tomémosla positiva hacia abajo. De este modo, llamando $l$ a la longitud correspondiente del resorte

$x=l-l_{eq}=l-l_0+l_0-l_{eq}=\Delta l-\Delta l_{eq}$

luego

$$\Delta l=\Delta l_{eq}+x$$

Por lo que se refiere a la altura $h$, si el origen de la misma está a una distancia $d$ por debajo de la de equilibrio

$$h=d-x$$

Llevemos (3) y (4) a (2):

$E=\frac{1}{2}mv^2+\frac{1}{2}k\Delta l_{eq}^2+k\Delta l_{eq}x+\frac{1}{2}kx^2+mgd-mgx$

Tengamos en cuenta ahora (1)

$E=\frac{1}{2}mv^2+\frac{1}{2}k\Delta l_{eq}^2+mgx+\frac{1}{2}kx^2+mgd-mgx$

Por tanto

$$E=\frac{1}{2}mv^2+\frac{1}{2}kx^2+\frac{1}{2}k\Delta l_{eq}^2+mgd$$

Los dos sumandos finales constituyen una constante, por lo que podemos omitirla en la energía. De hecho, se hace nula eligiendo $h=0$ en punto situado por encima de éste a una distancia $|d|$ tal que

$mg|d|=\frac{1}{2}k\Delta l_{eq}^2$

En definitiva, la energía mecánica del sistema tanto puede representarse mediante

$E=\frac{1}{2}mv^2+\frac{1}{2}k\Delta l^2+mgh$

como mediante

$E=\frac{1}{2}mv^2+\frac{1}{2}kx^2$

Observemos que ambas cantidades no son iguales, por tener diferente origen para la energía potencial. Por supuesto podemos forzar su igualdad sumando a cualquiera de ellas la constante apropiada.

[Umbopa]

Re: Sistema masa resorte

Lo que explica arivasm, también se puede entender fácilmente si lo piensas con fuerzas.

Las fuerzas aplicadas sobre la masa son: 1) su peso $F_{1} = - m g$ 2) la fuerza recuperadora del muelle $F_{2} = - k \Delta l$.

Al ser $F_{1}$ una fuerza constante (que no depende de $\Delta l$) su único efecto es el de cambiar la posición de equilibrio del muelle de $l_0$ a $l_{eq}$ (esto es lo que se refleja como una constante en la energía).

La dinámica a partir de ahí se puede describir con una sola fuerza $F = - k x$.