1r ciclo Movimiento Circular

[epmels]

Saludos foro, resulta que he dado con un ejercicio en el cual no se me ha ocurrido nada la verdad. El ejercicio es el siguiente:

En la figura, se muestra una rueda giratoria de radio 40[cm] y una leva $\bar{AP}$ de longitud 1,2[m]. El pasador P se desliza hacia atrás y hacia adelante, a lo largo del eje X, conforme la rueda gira en sentido contrario a las manecillas del reloj, con una rapidez de 360 revoluciones por minuto.

a) Encuentre la velocidad angular de la leva ($\frac{\mathrm{d} \alpha }{\mathrm{d} t}$), en radianes por segundo, cuando $\theta = \frac{\pi}{3}$
b) Exprese la distancia $x=\bar{OP}$, en términos de $\theta$
c) Halle una expresión para la velocidad del pasador P, en términos de $\theta$

Agradecería mucho si me pudieran dar con una ayudita de cómo abordar el problema, ya que no logro verlo de forma clara. Muchas gracias

[Lorentz]

Re: Movimiento Circular

Buenas tardes,

Se me ocurre hacer lo siguiente. Encontrar la ecuación de ligadura geométrica y derivarla para así obtener una relación entre la velocidad angular etc...

Considerando por ejemplo el ángulo $\theta$. Llamando $L$ a la distancia $\bar{AP}$, $R$ a la distancia $\bar{OA}$ y $x$ al desplazamiento del pasador, aplicamos el teorema del coseno:

$\dst L^2=R^2+x^2-2Rx cos \theta$

De lo cuál puedes despejar la $x$ obteniendo:

$\dst x-R\left(cos\theta+\sqrt{\left(\frac{L}{R}\right)^2-sin^2\theta}\right)=0$

Lo cuál puedes derivar y obtener:

$\dst \dot{x}+R\dot{\theta}sin\theta \left(1+\frac{cos\theta}{\sqrt{\left(\frac{L}{R}\right)^2-sin^2\theta}}\right)=0$

De ahí puedes deducir los apartados que te piden.

Un saludo

PD: Me di cuenta una vez hecho el problema que te pedían el $\alpha$. Para no repetirlo te lo dejo en función de $\theta$, que yo creo que siguiendo el mismo esquema podrás obtener el equivalente que te piden.

[Richard R Richard]

Re: Movimiento Circular

Aver si coincidimos con Lorentz, voy de corrido

primero buscaría cual es la trayectoria del punto A en su proyección sobre el eje horizontal

sabemos que el disco gira a $\frac{\mathrm{d\theta} }{\mathrm{d t} }=\omega=\dfrac{2\pi \cdot RPMs}{60s}=12\pi rad/s$


por otro lado sabemos que la proyeccion vertical de la leva y del punto A del disco coinciden

$R\sin\theta=R\sin \omega t =L\sin \alpha$

$\alpha =\arcsin(\frac RL \sin \omega t)$

sabiendo que la derivada del arseno es

$\dfrac {\mathrm{d} \left ( \arcsin x \right )}<br /> {\mathrm{d} x}=\dfrac 1{\sqrt{1-x^2}}<br />$

si aplicamos la regla de la cadena

$\frac{\mathrm{d\alpha} }{\mathrm{d t} }=\frac {\omega R}L\dfrac 1{\sqrt{1-(\frac RL \sin \omega t)^2}} \cos \omega t$


a)para $\theta=\frac{\pi}{3}=\omega t$

obtienes el tiempo y luego reemplazas en la ecuación de la derivada

b) la posición x tomado como origen de coordenadas el centro del disco

$x(\theta)=R\cos\theta+L \cos\alpha$

como $\cos\alpha=\sqrt{1-\sin^2\alpha}$


$x(\theta)=R\cos\theta+\L \sqrt{1-\sin^2\alpha}=R\cos\theta+L \sqrt{1-(\frac RL \sin \theta)^2}$


c)tienes que derivar la expresión anterior con respecto al tiempo, reemplaza en la expresión a $\theta$ en función de la velocidad angular y el tiempo, deriva con respecto al tiempo y convierte nuevamente los términos de la velocidad angular y tiempo a Theta

$\frac{\mathrm{dx(\theta)} }{\mathrm{d t} }=\frac{\mathrm{d\left[R\cos\theta+L \sqrt{1-(\frac RL \sin \theta)^2}\right]} }{\mathrm{d t} }$

$\frac{\mathrm{dx(\theta)} }{\mathrm{d t} }=\frac{\mathrm{d\left[R\cos\omega t+L \sqrt{1-(\frac RL \sin \omega t)^2}\right]} }{\mathrm{d t} }$

$\frac{\mathrm{dx(\theta)} }{\mathrm{d t} }=-R\omega \sin\omega t-\dfrac {\omega R^2\cos \omega t}{L\left[1-(\frac RL \sin \omega t)^2}\right]^{\frac 32}}$

$\frac{\mathrm{dx(\theta)} }{\mathrm{d t} }=-R\omega \sin\theta-\dfrac {\omega R^2\cos \theta}{L \left[1-(\frac RL \sin \theta)^2}\right]^{\frac 32}}$

[Lorentz]

Re: Movimiento Circular

Me alegra ver que obtenemos la misma expresión por métodos distintos

[epmels]

Re: Movimiento Circular

Debo darles muchas gracias a los dos, pude entender completamente el desarrollo, todo muy claro. Estaba perdido la verdad jaja. Saludos