1r ciclo equilibrio inestable

[dark212]

hola a todos ! estoy complicado para plantear las ecuaciones de equilibrio, si alguien pudiera iluminarme por favor estaria muy agradecido...
[FONT=Times New Roman]En la figura adjunta se representa una estructura formada por una base cuadrada delgada, con masa m1[kg] y área 40000L[/FONT][FONT=Times New Roman]2[/FONT][FONT=Times New Roman][cm[/FONT][FONT=Times New Roman]2[/FONT][FONT=Times New Roman]], y
una barra delgada adherida perpendicularmente en el centro de la base, con largo h[m], masa m[/FONT][FONT=Times New Roman]2[/FONT][FONT=Times New Roman][kg] y c.g. a distancia D[m] de la base. m[/FONT][FONT=Times New Roman]3[/FONT][FONT=Times New Roman]La estructura se mantiene en equilibrio estático inestable, sobre un planoinclinado, mediante un bloque con masa m[/FONT][FONT=Times New Roman]3[/FONT][FONT=Times New Roman][kg] que cuelga de una cuerdaamarrada en el extremo superior de m[/FONT][FONT=Times New Roman]2[/FONT][FONT=Times New Roman]. La línea superior de la cuerda eshorizontal.
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[FONT=Times New Roman]a) Obtenga una expresión para D utilizando brazos de palanca
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[Richard R Richard]

Re: equilibrio inestable

Hola no esta muy claro en el enunciado cual debería ser el centro instantáneo de rotación par que ceda el sistema, o bien es el punto B o bien el otro extremos de la base.

hagámoslo primero con el centro instantáneo en B y luego vemos que pasa con el otro extremo, como no te dan valores de las masas ni de las medidas , todo te quedara en formulas en función de esas variables.



Si haces el diagrama de cuerpo libre de la estructura en T con los ejes en paralelo y perpendicular al plano inclinado, para hallar el equilibrio inestable, la suma de los momentos de las fuerzas debe ser nulo, en el centro instantáneo de rotación escogido.


$\dst\sum F_{\parallel}=(m_1+m_2)g\sin\theta-m_3g\cos\theta=0$

$\dst\sum F_{\perp}=(m_1+m_2)g\cos\theta+m_3g\sin\theta-N=0$


la sumatoria de momentos en el punto B será ...


algunas medidas útiles calculamos el largo de la base , como es cuadrada su longitud es la raíz cuadrada del área

$L_b=\sqrt{40000L^2}=200L(cm)=2L(m)$

la longitud de la masa $m_2$ es $2D$ ya que el cg esta ubicado en $D$ y es simétrica por ser una barra


$\dst\sum M_B=0=m_1g\dfrac{L_b}{2}\cos\theta+m_2g(\dfrac{L_b}{2}\cos\theta-D\sin\theta)-\cancel{N\dfrac{L_b}{2}}+m_3g(\dfrac{L_b}{2}\sin\theta+2D\cos\theta)$

También puedes plantear el otro equilibrio inestable cuando la longitud de la masa $m_2$ es lo suficientemente grande para que su cg no este en linea vertical con la base, provocando un momento torsor, que puede ser equilibrado con $m_3$

$\dst\sum M_A=0=-m_1g\dfrac{L_b}{2}\cos\theta-m_2g(\dfrac{L_b}{2}\cos\theta+D\sin\theta)+$$\cancel{N\dfrac{L_b}{2}}+m_3g(-\dfrac{L_b}{2}\sin\theta+2D\cos\theta)$

[dark212]

Re: equilibrio inestable

Agradecido de tu respuesta Richard. Con respecto a tu duda, el profesor planteó 2 casos posibles, cuando la reacción se encuentra en B y en el otro extremo de la barra m1 para lo cual Nos planteo resolver 2 ecuaciones diferentes.
En un inciso nos dice que D = [(m1 + m2)L cosθ – (h cosθ + L senθ) m3 ] / (m2 senθ) cuandola reacción del plano inclinado se presenta en B. Y reemplazamos valores m3 = 2m1= 2m2 = 20; L = 1. Para la expresión dada, grafique D en función de θo considerando los casos h = 0,01; h = 0,1; h = 1; h = 10; h = 100 , y para esos valores analizar e interpretar.
gracias por tu ayuda !

[Richard R Richard]

Re: equilibrio inestable

Con respecto a tu duda, el profesor planteó 2 casos posibles, cuando la reacción se encuentra en B y en el otro extremo de la barra m1

Hola siempre es mejor que postees el enunciado completo, me gustaría leerlo y luego me indiques las dudas que tienes...
Asi no veo a donde o como se ha usado el dato 40000 ,y además las igualdades entre las masas te simplifican las expresiones.No se si tus dudas han sido resueltas

La base es cuadrada o es una barra?

[dark212]

Re: equilibrio inestable

El dato 40000L cm2 lo lleve a m y ya que se considera una barra delgada el ancho es 1 y el largo 2L m. Mi duda es que no logro comprender en que variará cuando el pivote se encuentre en B y cuando se encuentre en el otro extremo de la barra m1. Y luego de lo anterior darle sentido a los gráficos para interpretar.
El enunciado completo es:
1.- En la figura adjunta se representa una estructura formada por una
base cuadrada delgada, con masa m1[kg] y área 40000L2[cm2], y
una barra delgada adherida perpendicularmente en el centro de la base,
con largo h[m], masa m2[kg] y c.g. a distancia D[m] de la base. m3 La estructura se mantiene en equilibrio estático inestable, sobre un plano inclinado, mediante un bloque con masa m3[kg] que cuelga de una cuerda amarrada en el extremo superior de m2. La línea superior de la cuerda es horizontal.
a) Obtenga una expresión para D utilizando brazos de palanca
b) Suponga que D = [(m1 + m2)L cosθ – (h cosθ + L senθ) m3 ] / (m2 senθ) cuando
la reacción del plano inclinado se presenta en B.
Interprete el valor de D en cada uno de los siguientes casos:
i ) Cuando m2 >> m1 y m2 >> m3 ii) Cuando θ 0
y
m2 m1
c) Suponga m3 = 2m1= 2m2 = 20; L = 1. Para la expresión dada en (b), grafique D en función de θo considerando los casos h = 0,01; h = 0,1; h = 1; h = 10; h = 100 ( las cinco curvas en un gráfico).
d) Analice el gráfico.
e) Interprete lo analizado.

agradecido de antemano Richard!

[Richard R Richard]

Re: equilibrio inestable

Mi duda es que no logro comprender en que variará cuando el pivote se encuentre en B y cuando se encuentre en el otro extremo de la barra m1.

Si la barra m2 se acorta , a la misma masa m3 ,le sera mas fácil volcar la T en sentido antihorario sobre el punto mas alto de la base m1.
Si la barra m2 es larga y su cg esta verticalmente por fuera de la base m1, tendera a hacer rotar la T en sentido horario sobre el punto B,tanto mas larga mas masa debe tener m3 para evitar el vuelco.

Voy a revisar mis formulas porque no alcanzó a llegar, a la que te han dado en el apartado b.

[dark212]

Re: equilibrio inestable

Muchas gracias Richard, el diagrama de cuerpo libre el profesor dijo que ya estableció un eje de coordenadas, por lo tanto me dijo que estaba mal ecuaciones de equilibrio pues las reacciones no estaban expresadas para cuando la reacción es en el punto b y para cuando reacciona en el otro punto extremo de la barra m1. No logro comprender

[Richard R Richard]

Re: equilibrio inestable

Hola dark212 disculpa que mi interpretación sea diferente a la del profesor que bien marcó con una flecha el sistema de referencia y yo no lo vi hasta que me lo indicaste., también vi que sume el momento de la normal, pero cuando hay equilibrio inestable, la reaccion pasa por el punto de apoyo y su distancia se hace nula , por lo que la normal no genera momento, además toman que D no es el baricentro de la barra y utilizan h en vez de 2 D.



usando coordenadas en horizontal $x$ y vertical $y$ tienes

$\dst\sum F_x=0=N\sin\theta-m_3g$

$\dst\sum F_y=0=N\cos\theta-(m_1+m_2)g$

y tomando momentos positivos en sentido hoirario

$\dst\sum M_B=0=-m_1gL\cos\theta-m_2g(L\cos\theta-D\sin\theta)-m_3g(L\sin\theta+h\cos\theta)$

de esta ultima se despeja D y te queda

$D=\dfrac{(m_1+m_2)L\cos\theta+m_3(L\sin\theta+h\cos\theta)}{m_2\sin\theta}$

que difiere solo en un signo con la expresión del apartado b) supongo que esta mal tipeada(o he vuelto a equivocarme), porque lo único que puede equilibrar los momentos creados por el peso de $m_1$ y $m_3$ mas la parte a la izquierda de la vertical que pasa por B del peso$m_2$ es solo lo que queda por la derecha de B correspondiente a la masa $m_2$


b)i) si $m_2>>m_1 \bigwedge m_2>>m_3 \,\to\, D=\dfrac{L}{\tan\theta}$

cuando la masa de m_2 asciende debo colocar el centro de gravedad de esa barra cada vez mas bajo a medida que incremento el angulo $\theta$ logico cada vez que inclino mas la barra la inestabilidad se logra con menor distancia al centro de gravedad.


b_ii) no se ve la relacion entre m_1 y m_2

[dark212]

Re: equilibrio inestable

Muchas gracias por tu ayuda Richard, me ha sido de gran ayuda y he logrado avanzar comprendiendo el ejercicio. Le he llevado el avance al profesor y me ha comentado que como es una situación en equilibrio inestable, existe una fuerza de roce que no estamos considerando, me ha dicho que lo debo plantear bajo 2 casos independientemente de que las ecuaciones sean similares si el objeto gira en el punto B y en el otro extremo. Las ecuaciones están bien pero lo que plante es lo comentado anteriormente, la fuerza de roce. La debo descomponer también ?

[Richard R Richard]

Re: equilibrio inestable

Como el ejercicio no aclara que hay rozamiento, ni aporta el dato del coeficiente de rozamiento estático ,no lo incluí en la sumatoria de fuerzas, por supuesto que al introducir el rozamiento este tiene dirección paralela al plano y entonces hay que descomponerlo según las direcciones del sistema de referencia y sumar las componentes en cada sumatoria.
Ahora bien como en el equilibrio inestable el apoyo es el punto B ,el rozamiento estará aplicado en ese punto y no crea momento tal cual pasa con la normal al plano, la sumatoria de momentos no se altera por incorporar el rozamiento.

Pd, las ecuaciones de la sumatoria de fuerzas te permiten hallar $\theta$ y la relacion de masas para el cual el sistema no acelera cayendo o ascendiendo por el plano, ... Con ese ángulo puedes reemplazar en la ecuación de momento y dejar todo en función de las masas ,el coef de rozamiento estático,, L y h , te lo aclaro ya que te piden cosas que se pueden sobreentender pero no se aclaran en el enunciado, tales como porque el cg no es directamente D=h/2.
Todo esto es igualmente válido para aplicar en el otro extremo de la base, lo que cambian son algunos signos de las ecuaciones de momentos, pero no las de sumatoria de fuerza.

[dark212]

Re: equilibrio inestable

Richard, quería agradecer infinitamete tu ayuda y tu tiempo, me ha sido de gran utilidad para entender el problema.
Saludos !