Fuerza central dependiente de r

[Ulises7]

Re: Fuerza central dependiente de r

Ese es el vector de posición, tal cual. Con origen en O y final en M. La expresión matemática en esféricas es $\vec{r} = r \vec{u_r}$ y de cartesianas a esféricas:

$\vec{r} = \sqrt{x^2+y^2+z^2} ( sin\theta \cos\varphi \vec{u_x} + sin\theta \sin\varphi \vec{u_y} + \cos\theta \vec{u_z} )$


Son equivalentes, pero en una trabajas con coordenadas (x,y,z) y en otra con (r$,\theta, \varphi$) el resultado obtenido en ambas debería ser el mismo, pero la dificultad matemática será diferente. En los campos centrales por ejemplo, como tienes simetría azimutal y polar es mucho más sencillo trabajar con coordenadas esféricas al depender sólo de r, pero los cálculos también salen en otros sistemas de coordenadas, como ya se ha visto anteriormente.

Mi consejo es que te mires bien las coordenadas esféricas, de donde salen y cómo se intercambia con las cartesianas, no es evidente: hay que mirar proyecciones del vector posición respecto a los planos cartesianos. Porque seguramente el error que tengas es matemático al trabajar con la dependencia según la distancia, como ya te ha indicado Malevolex la expresión que has usado no es correcta. Prueba con la de arriba.

[Visitante]

Re: Fuerza central dependiente de r

Mi consejo es que te mires bien las coordenadas esféricas, de donde salen y cómo se intercambia con las cartesianas, no es evidente: hay que mirar proyecciones del vector posición respecto a los planos cartesianos. Porque seguramente el error que tengas es matemático al trabajar con la dependencia según la distancia, como ya te ha indicado Malevolex la expresión que has usado no es correcta. Prueba con la de arriba.

Las coordenadas esféricas ya me las he visto y la confusión que tengo no tiene que ver con eso, el cambio de esféricas a cartesianas no es difícil ya que es trigonometría. Mi duda está en el enunciado, lo veo un tanto vago, porque no especifica el vector de posición, podría ser respecto a las coordenadas esféricas también y las coordenadas serán las que comenté que además arivasm me confirmó en un mensaje, se sobreentiende que en este problema es respecto a las coordenadas cartesianas y las coordenadas son las que comentáis, pero aún así tengo esa cosa que me molesta un poco. Generalizando, ¿en problemas como este el vector de posición se da por sentado que es respecto a las coordenadas cartesianas?

[arivasm]

Re: Fuerza central dependiente de r

Pero ese es el vector de posición respecto a coordenadas cartesianas, el enunciado no especifica, ¿no podría ser el vector de posición respecto a coordenadas esféricas?

El vector de posición es uno que va desde el origen hasta el punto. En coordenadas cartesianas tiene la forma $(x,y,z)$, mientras que en esféricas es el $(r,0,0)$, y no $(r,\theta,\varphi)$, como has escrito varias veces.

¿con esa pista me quieres decir que los tiros no van por el rotacional?

Eso significa que o no me he explicado bien o no me has entendido bien. A lo que me refería es que no te debes preocupar por la dependencia de la velocidad y del tiempo a la hora de determinar el carácter conservativo, pues en el rotacional solo aparecen las coordenadas espaciales, y no esas otras cuatro.

Mi duda está en el enunciado, lo veo un tanto vago, porque no especifica el vector de posición, podría ser respecto a las coordenadas esféricas también... se sobreentiende que en este problema es respecto a las coordenadas cartesianas

Lo que te dice el enunciado es que la manera en la que el módulo del vector depende de las coordenadas espaciales es tal que éstas aparecen agrupadas a través de $\sqrt{x^2+y^2+z^2}$, o en esféricas, $r$, además de que su dirección es paralela a $\vec r$.

[Visitante]

Re: Fuerza central dependiente de r

El vector de posición es uno que va desde el origen hasta el punto. En coordenadas cartesianas tiene la forma $(x,y,z)$, mientras que en esféricas es el $(r,0,0)$, y no $(r,\theta,\varphi)$, como has escrito varias veces.


Lo que te dice el enunciado es que la manera en la que el módulo del vector depende de las coordenadas espaciales es tal que éstas aparecen agrupadas a través de $\sqrt{x^2+y^2+z^2}$, o en esféricas, $r$, además de que su dirección es paralela a $\vec r$.

Creo que no me estoy explicando bien porque no me entienden, el enunciado no especifica respecto a qué es el vector de posición. Esas coordenadas que dices son efectivamente para el vector de posición del origen de las coordenadas cartesianas hasta el punto M. ¿Pero y si va de M a otro punto P? Hay que ser más preciso.

Eso significa que o no me he explicado bien o no me has entendido bien. A lo que me refería es que no te debes preocupar por la dependencia de la velocidad y del tiempo a la hora de determinar el carácter conservativo, pues en el rotacional solo aparecen las coordenadas espaciales, y no esas otras cuatro.

Pero eso es si quiero demostrar que si la función depende de r entonces es conservativo, vale. Pero al revés no tiene que ver eso que dices, si es conservativo ¿cómo demuestro que la función depende solo de r? Yo no quiero determinar el carácter conservativo, eso ya lo sé, lo que quiero es demostrar que si la fuerza central es conservativa entonces f(t,r,v) solo depende de r...

[arivasm]

Re: Fuerza central dependiente de r

Pero al revés no tiene que ver eso que dices, si es conservativo ¿cómo demuestro que la función depende solo de r?

Eso es imposible demostrarlo porque simplemente no es cierto. Por ejemplo, sea el potencial $V=-x^2t$. El campo asociado es $\vec F(\vec r,t)=(2xt,0,0)$. Es conservativo, pero no depende solo de $r$, y no hay manera de expresarlo en función de $r=\sqrt{x^2+y^2+z^2}$

[Visitante]

Re: Fuerza central dependiente de r

Eso es imposible demostrarlo porque simplemente no es cierto. Por ejemplo, sea el potencial $V=-x^2t$. El campo asociado es $\vec F(\vec r,t)=(2xt,0,0)$. Es conservativo, pero no depende solo de $r$, y no hay manera de expresarlo en función de $r=\sqrt{x^2+y^2+z^2}$

Pero Arivasm, me da que esa fuerza no es central. Hay que demostrar que si la fuerza central es conservativa, entonces f(t,r,v) depende de r, no sé por dónde tirar.

[arivasm]

Re: Fuerza central dependiente de r

Vale. Se trata de demostrar que si la fuerza es central y conservativa entonces su módulo solo depende de las coordenadas espaciales a través de $r$.

Yo creo que el camino más sencillo pasa por traducirlo a coordenadas esféricas. Por cierto, entiendo que lo que escribí en el párrafo anterior debe interpretarse como central pero con centro de fuerzas en el origen de coordenadas. De lo contrario, si el centro de fuerzas puede ser cualquier punto M y $r$ es la distancia al origen de coordenadas dudo que sea cierto, aunque confieso que tan solo es una intuición.

En cualquier caso, lo que voy a escribir tómatelo como una demostración para el caso en que el centro de fuerzas esté en el origen.

Pues bien, al ser así tenemos que, por el hecho de ser central, $F_\theta=0$ y $F_\varphi=0$, pues como $\vec F=g\vec r$ y $\vec r=r\hat r$, tenemos que $\vec F=g\ r\hat r=f\ \hat r$. Ahora solo queda demostrar que $F_r=f$ es solo función de $r$ (estamos usando coordenadas esféricas, para otras sería "la combinación de coordenadas de manera que se pueda expresar como..." -por ejemplo $\sqrt{x^2+y^2+z^2}$) si y solo si el campo es conservativo.

La directa, es decir, que si $F_r=f(r)$ ya la vimos antes: el rotacional de $\vec F$ es nulo. No hay más que usar la expresión del rotacional en esféricas:

$\dst \vec \nabla\times\vec F=\dfrac{1}{r^2\sin\theta}\begin{pmatrix}\hat r & r\hat\theta & r\sin\theta\hat\varphi \\ \frac{\partial}{\partial r} & \frac{\partial}{\partial \theta} & \frac{\partial}{\partial \varphi} \\ F_r & rF_\theta & r\sin\theta F_\varphi \end{pmatrix}$

que para el caso en que $\vec F$ sea central es simplemente

$\dst \vec \nabla\times\vec F=\dfrac{1}{r^2\sin\theta}\begin{pmatrix}\hat r & r\hat\theta & r\sin\theta\hat\varphi \\ \frac{\partial}{\partial r} & \frac{\partial}{\partial \theta} & \frac{\partial}{\partial \varphi} \\ F_r & 0 & 0 \end{pmatrix} = \dfrac{1}{r\sin\theta}\dfrac{\partial F_r}{\partial\varphi}\hat \theta-\dfrac{1}{r}\dfrac{\partial F_r}{\partial\theta}\hat \varphi$

Como $F_r(r)$ tenemos que $\vec \nabla\times\vec F=\vec 0$

Ahora vamos con la inversa. Como $\vec \nabla\times\vec F=\vec 0$ tenemos que $\dfrac{1}{r\sin\theta}\dfrac{\partial F_r}{\partial\varphi}\hat \theta-\dfrac{1}{r}\dfrac{\partial F_r}{\partial\theta}\hat \varphi=\vec 0$, luego $\dfrac{1}{r\sin\theta}\dfrac{\partial F_r}{\partial\varphi}=0$ y $\dfrac{1}{r}\dfrac{\partial F_r}{\partial\theta}=0$. Por tanto, $\dfrac{\partial F_r}{\partial\varphi}=0$ y $\dfrac{\partial F_r}{\partial\theta}=0$. Conclusión $F_r$ solo depende de $r$

No se me ocurre una manera más cómoda de demostrarlo.

[Visitante]

Re: Fuerza central dependiente de r

Ahora vamos con la inversa. Como $\vec \nabla\times\vec F=\vec 0$ tenemos que $\dfrac{1}{r\sin\theta}\dfrac{\partial F_r}{\partial\varphi}\hat \theta-\dfrac{1}{r}\dfrac{\partial F_r}{\partial\theta}\hat \varphi=\vec 0$, luego $\dfrac{1}{r\sin\theta}\dfrac{\partial F_r}{\partial\varphi}=0$ y $\dfrac{1}{r}\dfrac{\partial F_r}{\partial\theta}=0$. Por tanto, $\dfrac{\partial F_r}{\partial\varphi}=0$ y $\dfrac{\partial F_r}{\partial\theta}=0$. Conclusión $F_r$ solo depende de $r$

Esto es justamente lo que te comentaba antes que se me ocurrió, sin embargo, aún tengo mis dudas. Obviamente, la función no depende de ambos ángulos, pero sigo dudando de por qué la función no depende ni del tiempo ni del vector velocidad, y también cómo estar seguro de que tenga que depender de r sí o sí...

[arivasm]

Re: Fuerza central dependiente de r

Éste es un ejemplo de como una coma cambia completamente el significado de una frase. Lo que yo te puse es esto

Vale. Se trata de demostrar que si la fuerza es central y conservativa entonces su módulo solo depende de las coordenadas espaciales a través de $r$.

Y yo creo que la has interpretado como di dijese "entonces su módulo solo depende de las coordenadas, espaciales a través de $r$"

Es decir, no te he dicho que solo dependiese de las coordenadas espaciales y nada más, sino que puede depender de un montón de variables (lo que incluye la velocidad, el tiempo y todo lo que se quiera) entre las cuales están las coordenadas espaciales. Pero que estas últimas no entran de cualquier manera sino a través de expresiones en las que se agrupan como $r=\sqrt{x^2+y^2+z^2}$

[alexpglez]

Re: Fuerza central dependiente de r

No tengo mucha experiencia sobre potenciales dependientes de la velocidad o del tiempo, ni siquiera conozco su definición (mientras no nos metamos en mecánica lagrangiana). A falta de una buena definición voy a basarme en lo siguiente:
$\vec F(\vec r, \dot \vec r,t)$ es conservativa si existe una $V(\vec r)$ tal que $\vec F=-\nabla V$.
A consecuencia una fuerza conservativa no depende ni del tiempo ni de las velocidades.
PD: De hecho juraría que ésta es la definición de fuerza conservativa.

Ahora voy a hacer la demostración de Arivasm de forma más simplificada. Sea $\vec F(\vec r, \dot \vec r,t)$ una fuerza central ($\vec F=f(\vec r, \dot \vec r,t)\vec e_r$):
$\vec F$ es conservativa si y sólo si $f$ sólo depende de $r=||\vec r ||$ y $f(r)$ admite una primitiva. (quizá hagan falta algunas condiciones extra de diferenciabilidad)
Como el gradiente en esféricas es:

$$\nabla V=\frac{\partial V}{\partial r}\vec e_r +\frac{1}{r}\frac{\partial V}{\partial \theta}\vec e_{\theta}+\frac{1}{r\sin \theta}\frac{\partial V}{\partial \phi}\vec e_{\phi}$$

Es obvio que si $\vec F$ es central y conservativa entonces no puede depender de los ángulos pues su potencial tampoco depende ($\partial_{\theta} V=\partial_{\phi} V=0$). Y si $f(r)$ admite primitiva, podemos encontrar una función $V$ tal que $-V'(r)=f(r)$ y trivialmente se verifica que $-\nabla V=\vec F$.

Saludos

[arivasm]

Re: Fuerza central dependiente de r

Me temo que la cuestión es entonces otra (pues nada impediría, a priori, que $V(r,t)$ y $\vec F=-\vec\nabla V$), y es posible que yo no sea el más adecuado para ayudar. La clave está en qué se entiende por fuerza conservativa.

La definición usual es que no altere la conservación de la energía, lo que equivale a decir que el trabajo que realiza para un camino cerrado sea nulo, o que el trabajo solo dependa de los puntos extremos de un recorrido. En tal caso, es obvio que la fuerza, aunque derive de un potencial, y al igual que éste, únicamente puede depender de las coordenadas. De lo contrario, si dependiese del tiempo o la velocidad, entonces el trabajo realizado entre dos puntos podría ser diferente si las velocidades o instantes correspondientes fuesen diferentes, para un recorrido cerrado el resultado dependería de las velocidades y los tiempos, etc.

Así pues, desde un punto de vista estrictamente físico una fuerza conservativa, además de tener un rotacional nulo, o proceder vía gradiente de un potencial, etc. no puede depender del tiempo, ni directamente, ni indirectamente a través de las derivadas en las que participa, lo que incluye entonces la velocidad.

Otra cosa sería un punto de vista estrictamente matemático. En tal caso (véase, por ejemplo https://en.wikipedia.org/wiki/Conservative_vector_field) la definición es que será el gradiente de una función. Obviamente, la distinción entre coordenadas espaciales y tiempo se vuelve artificiosa y las cuatro deben ser tratadas igualmente. A partir de aquí me pierdo, por lo que ya no diré más, porque seguramente meto la pata.

Así pues. En mi opinión, y pensando únicamente en términos físicos, la independencia del tiempo (y de la velocidad) está garantizada simplemente por definición. No hace falta demostración alguna al respecto.

[alexpglez]

Re: Fuerza central dependiente de r

Me temo que la cuestión es entonces otra (pues nada impediría, a priori, que $V(r,t)$ y $\vec F=-\vec\nabla V$), y es posible que yo no sea el más adecuado para ayudar. La clave está en qué se entiende por fuerza conservativa.

La definición usual es que no altere la conservación de la energía, lo que equivale a decir que el trabajo que realiza para un camino cerrado sea nulo, o que el trabajo solo dependa de los puntos extremos de un recorrido. En tal caso, es obvio que la fuerza, aunque derive de un potencial, y al igual que éste, únicamente puede depender de las coordenadas. De lo contrario, si dependiese del tiempo o la velocidad, entonces el trabajo realizado entre dos puntos podría ser diferente si las velocidades o instantes correspondientes fuesen diferentes, para un recorrido cerrado el resultado dependería de las velocidades y los tiempos, etc.

Así pues, desde un punto de vista estrictamente físico una fuerza conservativa, además de tener un rotacional nulo, o proceder vía gradiente de un potencial, etc. no puede depender del tiempo, ni directamente, ni indirectamente a través de las derivadas en las que participa, lo que incluye entonces la velocidad.

Para complementar lo dicho por arivasm, aunque quizá puede liar más, es la siguiente observación.
Normalmente uno define el trabajo de una fuerza $\vec F$ por un camino $\gamma:T\longrightarrow \mathbb R^3$ cuando depende sólo de las coordenadas como la integral curvilínea:

$$W=\int_{\gamma}\vec F(\vec r) \cdot d \vec r=\int_T \vec F(\vec \gamma(t)) \cdot \dot \vec \gamma(t) dt$$

Y si el integrando de la segunda integral admite una primitiva de la forma $-\nabla V(\gamma(t)) \cdot \vec \gamma(t)$ para todo camino, se le suele llamar a la V energía potencial y $\frac{d(T+V)}{dt}=0$.

Pero cuando uno está trabajando con fuerzas dependientes del tiempo y la velocidad se llega a versiones distintas dependiendo de lo que uno quiera definir. Dada una curva $\vec \gamma(\lambda)$ tenemos dos candidatos a potencia:

$$P(\lambda, t)=\vec F(\vec \gamma(\lambda),\dot \vec \gamma(\lambda), t)\cdot \dot \vec \gamma(\lambda)$$

$$P( t)=\vec F(\vec \gamma(t),\dot \vec \gamma(t), t)\cdot \dot \vec \gamma(t)$$

Y sus respectivos trabajos serían integrando respecto del parámetro de la curva (que en el segundo caso coincide con el tiempo). Suponiendo el segundo caso, que tiene más sentido físico, podemos suponer una energía potencial dependiente de las velocidades, pero entonces la potencia sería:

$$P(t)=\frac{dV}{dt}=\sum_{i=1}^3 \frac{\partial V}{\partial x^i}\dot x^i+\sum_{i=1}^3\frac{\partial V}{\partial \dot x^i}\ddot x^i + \frac{\partial V}{\partial t}$$

Ahora bien, esto no se puede dar pues en (2) no intervienen las aceleraciones, luego la energía potencial (en el sentido que le estamos dando) no puede depender de las velocidades ni del tiempo. La fuerza si podría depender, con tal de que se cancele en el sumatorio: con $F=(-\frac{t}{\dot x},0,0)$ da que $P(t)=t$, $V=\frac{t^2}{2}$ y es válido que $T+\frac{t^2}{2}=cte$. Fuerzas bastante extrañas...
Este método (2) tiene el inconveniente que no podemos encontrar la fuerza a partir del potencial.

Consideremos que F no depende de las velocidades, entonces me parece más útil definir la energía potencial a partir de (1), es decir:

$$-\frac{\partial V}{\partial x^i}=F^i(\vec r,t)$$

Podemos encontrar la energía potencial a partir de la fuerza pero en cambio no se da la conservación de la energía, unas cuentas rápidas demuestran que:

$$\frac{d(T+V)}{dt}=-\frac{\partial V}{\partial t}$$

Esta es la definición que se usa habitualmente en mecánica analítica. (Si dependiese el potencial de la velocidad, habría más términos a la derecha de la ecuación, pero nunca he visto considerados estos casos)


Si ya nos metemos con la mecánica analítica y las ecuaciones Euler-Lagrange, vemos que además tienen interés las fuerzas dependientes de la velocidad (y del tiempo) de la forma:

$$F^i=-\frac{\partial V}{\partial x^i}+\frac{d}{dt}\frac{\partial V}{\partial \dot x^i}$$

Pues podemos definir perfectamente el lagrangiano como $L=T-V$. (Por supuesto podemos recuperar la fuerza a partir de V).


Conclusión, la energía potencial no depende de las velocidades ni del tiempo, a no ser que no se conserve la energía.

Saludos