Secundaria Fórmula de la energía potencial de la Tierra a través de la Ep gravitatoria

[DavidRodr11]

Buenas! Estaba intentando deducir la Ep de la tierra (Ep=mgh) a través de la gravitatoria (Ep=-GMm/r) y me he encontrado con un problema:

Primero como a la Ep se le puede sumar cualquier constante le he sumado la Ep en la superficie de la tierra de forma que sea 0 en la superficie terrestre

$Ep= - G\frac{Mm}{r} +G\frac{Mm}{{R}_{T}}$

Luego, como $g=G\frac{M}{{r}^{2}}$

$Ep= -grm + g{R}_{T}m$

$Ep= gm ({R}_{T}-r)$

Y si el radio r es R_T+h,

Ep= -mgh

Pero en realidad la Ep en la superficie terrestre es +mgh porque cuanta mas altura mas Ep


Creo que el error puede estar en que g sea igual a
$-G\frac{M}{{r}^{2}}$ pero no entiendo el por qué

[Richard R Richard]

Re: Fórmula de la energía potencial de la Tierra a través de la Ep gravitatoria

Creo que puedes escribir las formulas de otro modo

$E_p=-GMm\left(\dfrac 1r-\dfrac1{R_t}\right)$

si $g=\dfrac{GM}{R_t^2}$

$E_p=-gR_t^2m\left(\dfrac 1r-\dfrac1{R_t}\right)$

acomodando

$E_p=gR_t^2m\left(\dfrac{r-R_t}{rR_t}\right)$

si $r =R_t+h$

$E_p=gR_t^2m\left(\dfrac{h}{(R_t+h)R_t}\right)$

y si la altura es despreciable h frente al radio de la tierra

$R_t\cong R_t+h=r$

$E_p=g\cancel{R_t^2}m\left(\dfrac{h}{\cancel{R_t^2}}\right)$


$\boxed{E_p=gmh}$

[DavidRodr11]

Re: Fórmula de la energía potencial de la Tierra a través de la Ep gravitatoria

Creo que ya comprendí el error en mi planteamiento.

$Ep= -G\frac{Mm}{r} + G\frac{Mm}{{r}_{t}}$

Pero $g=\frac{GM}{{r}_{t}}$

Antes no tuve en cuenta que era el radio de la Tierra luego sustituyendo queda

$Ep=\frac{-gm{{R}_{t}}^{2}}{r} + gm{R}_{t }$

Siendo r= R_t + h

$Ep= gm[{R}_{t}-\frac{{{R}_{t}}^{2}}{{R}_{t }+h}]$

$Ep= gm[\frac{{R}_{t}({R}_{t}+h)} {{R}_{t}+h} - \frac{{{R}_{t}}^{2}}{{R}_{t }+h}]$

Mientras con mi planteamiento anterior tendría

$Ep= gm[\frac{{R}_{t}({R}_{t}+h)} {{R}_{t}+h} - \frac{{({R}_{t}+h)}^{2}}{{R}_{t }+h}]$

Y aquí se ve como el error cambiaba el signo a la ecuación puesto que simplificando ambas quedaria la antigua

$Ep= gm [{R}_{t}-({R}_{t}+h)] = - gmh$

Y la nueva

$Ep= gm\frac{{{R}_{t}}^{2 }+{R}_{t}h-{{R}_{t}}^{2}}{{R}_{t}+h}= gm\frac{{R}_{t}h}{{R}_{t}+h}$

Y aquí como R_t+h no variará a menos que h sea muy grande se aproxima a R_t y la fórmula queda

$Ep=gmh$