Otras carreras Piedra que cae a un pozo

[cristianoceli]

Hola tengo dificultades con este ejercicio de física


Una piedra se deja caer a un lago de tal forma que golpea la superficie con una rapidez de $16. 5 \displaystyle\frac{pie}{s}$. Mientras cae la piedra experimenta una aceleración de $a=10-0.8 v$ donde $a$ y $v$ se expresan en $\displaystyle\frac{pie}{s^2}$ y $\displaystyle\frac{pie}{s}$ , respectivamente. Si se observa que la piedra demora $3$ segundos en irse al fondo


Determine
a) Profundidad del lago
b)La rapidez de la piedra cuando llega al fondo

a) Tenemos que la aceleración esta en función de la velocidad por lo tanto



$\displaystyle\frac{dv}{dt} = 10-0.8v$
$\displaystyle\frac{dv}{10-0.8v} = dt$
$\displaystyle\int_{}^{} \displaystyle\frac{dv}{10-0.8v} = \displaystyle\int_{}^{} dt$

Resultando

$-\displaystyle\frac{1}{0.8}\ln(10-0.8v)=t+c\,\Rightarrow{\,}\ln(10-0.8v)=-0.8(t+c)\,\Rightarrow{\,}10-0.8v=e^{-0.8(t+c)}$

De acá me complica despejar el valor de $v$ ya que al resolver la ecuación diferencial no se cual es el valor de $c$

De antemano gracias

[Richard R Richard]

Re: Piedra que cae a un pozo

hola cristian , es mas sencillo que eso, la constante de integración se usa para las integrales indefinidas , paro aqui tienes todos los limites de integración

$\displaystyle\int_{16.5}^{v_F} \displaystyle\frac{dv}{10-0.8v} = \displaystyle\int_{0}^{3} dt$

de donde se puede sacar $v_F$

Edito:

$\dfrac{10-e^{-0.8\cdot 3}} {0.8}=v_F<br />$

luego

$\begin{aligned}<br /> \frac{\dd v}{\dd t}&=a(v),\\<br /> \dd t&=\frac{\dd v}{a(v)},\\<br /> \int_0^t\dd t&=\int_{v_0}^v\frac{\dd v}{a(v)},\\<br /> t(v)&=\int_{v_0}^v\frac{\dd v}{a(v)}.<br /> \end{aligned}<br />$


$t=-\dfrac{1}{0.8}ln\left(\dfrac{10-0.8v(t)}{10-08\cdot 16.5}\right).<br />$
despejas v(t) lo integras entre 0 y 3 s y listo
si no te sale la seguimos

[cristianoceli]

Re: Piedra que cae a un pozo

Hola tengo dificultades con este ejercicio de física


Una piedra se deja caer a un lago de tal forma que golpea la superficie con una rapidez de $16. 5 \displaystyle\frac{pie}{s}$. Mientras cae la piedra experimenta una aceleración de $a=10-0.8 v$ donde $a$ y $v$ se expresan en $\displaystyle\frac{pie}{s^2}$ y $\displaystyle\frac{pie}{s}$ , respectivamente. Si se observa que la piedra demora $3$ segundos en irse al fondo


Determine
a) Profundidad del lago
b)La rapidez de la piedra cuando llega al fondo

a) Tenemos que la aceleración esta en función de la velocidad por lo tanto



$\displaystyle\frac{dv}{dt} = 10-0.8v$
$\displaystyle\frac{dv}{10-0.8v} = dt$
$\displaystyle\int_{}^{} \displaystyle\frac{dv}{10-0.8v} = \displaystyle\int_{}^{} dt$

Resultando

$-\displaystyle\frac{1}{0.8}\ln(10-0.8v)=t+c\,\Rightarrow{\,}\ln(10-0.8v)=-0.8(t+c)\,\Rightarrow{\,}10-0.8v=e^{-0.8(t+c)}$

De acá me complica despejar el valor de $v$ ya que al resolver la ecuación diferencial no se cual es el valor de $c$

De antemano gracias

ok Entiendo yo pensaba calcular la profundidad mediante $s= \displaystyle\int_{0}^{3} v(t)\, dt$ lo voy a intentar como tu sugieres. Si no me sale pregunto de nuevo ajajjaja


Saludos y gracias

[Ulises7]

Re: Piedra que cae a un pozo

También puedes resolverla como lo estabas haciendo con la integral definida y obteniendo la constante de integración. Esta la obtienes con las condiciones iniciales, en este caso que el tiempo inicial (t=0s) tienes que la velocidad inicial es $16,5 \dfrac{pie}{s^2}$.

[Richard R Richard]

Re: Piedra que cae a un pozo

ok Entiendo yo pensaba calcular la profundidad mediante $s= \displaystyle\int_{0}^{3} v(t)\, dt$ lo voy a intentar como tu sugieres. Si no me sale pregunto de nuevo ajajjaja


Saludos y gracias

en mi edicion lo resolvi como tu dices pero primero hay que averiguar la función v(t)