Divulgación Variación de la velocidad de rotación terrestre, por el impacto de un meteorito.

[JCB]

Hola a todos.

Abro este hilo para desarrollar un mensaje mío anterior en otro hilo (“Si la Tierra se parase”). En este otro hilo, Richard ya me advirtió de que también debía tener en cuenta la cantidad de movimiento del meteorito.

Ahora empiezan las suposiciones (ya estamos). Consideraré:
- Que el impacto se produce en el plano del ecuador.
- Que el vector velocidad del meteorito está contenido en ese plano y pasa a una distancia “d” del eje de rotación de la Tierra.

Aplicando la conservación del momento angular:

$-mvd+\frac{2}{5}MR^2\omega_1=\frac{2}{5}(M+m)R^2\omega_2$,

$-mvd+\frac{2}{5}MRv_1=\frac{2}{5}(M+m)Rv_2$,

$-m(vd+\frac{2}{5}Rv_2)= \frac{2}{5}MR(v_2-v_1)$,

$m=\frac{\frac{2}{5}MR(v_1-v_2)}{vd+\frac{2}{5}Rv_2}$

La expresión anterior indica la masa que debe tener el meteorito para provocar una disminución de velocidad en el ecuador de $v_1$ a $v_2$.

¿ Cómo lo veis ?.

[Richard R Richard]

Re: Variación de la velocidad de rotación terrestre, por el impacto de un meteorito.

Te basabas en

Supongamos que un meteorito provoca la disminución de la velocidad de rotación en 1 km/h, en el ecuador. La masa de este, será:


$I_1\omega_1=I_2\omega_2$,


$\frac{2}{5}MR^2\frac{v_1}{R}=\frac{2}{5}(M+m)R^2\frac{v_2}{R}$,


$Mv_1=(M+m)v_2$,


$m=\frac{M(v_1-v_2)}{v_2}$.

que tenia errores , en su momento no habia prestado atencion a que tambien el momento angular del meteorito debe tenerse en cuenta , ya veo que ahora si lo has hecho.

Veo bien tu planteo,

solo si quieres hilar muy fino aclararía un par de cosas.

El impacto tambien afecta a la velocidad de traslación del planeta, para computarlo, debes hacer un planteo de la conservación del momento lineal, y la distribución de la energía cinetica del meteorito para su contribución a la velocidad de rotación y de traslación.

así $v$, $v_1$ y $v_2$ son velocidades relativas al eje de rotación, necesitarías mas masa para cambiar la velocidad de rotación ya que parte de su momento su utilizara en cambiar la velocidad de traslación.

Además estas suponiendo que la densidad del meteorito, es la misma que la del planeta, ya que no calculas el momento de inercia de la tierra como suma del que tenia tierra mas el del meteorito en la superficie $I_T=\dfrac 25 MR_T^2+mR_t^2$ solo incrementas la masa y debería al menos incrementar el radio si aumenta el volumen por incremento de masa.

Has limitado el problema buscando una disminución en la velocidad angular ,pero bien podría aumentar impactando con -v o en realidad , es decir variando el angulo de impacto sobre la superficie, en tu caso has fijado d y con eso sabiendo que $d<R_T$ sacas el angulo de la relación $d\over R_T$ y podrías obtener una expresión mas general.

[JCB]

Re: Variación de la velocidad de rotación terrestre, por el impacto de un meteorito.

Agradecido una vez más Richard.

Replanteando lo escrito anteriormente:

$-mvd+\frac{2}{5}MR^2\omega_1=\frac{2}{5}MR^2\omega_2+mR^2\omega_2$,

$-mvd+\frac{2}{5}MRv_1=\frac{2}{5}MRv_2+mRv_2$,

$-m(vd+Rv_2)=\frac{2}{5}MR(v_2-v_1)$,

$m=\frac{\frac{2}{5}MR(v_1-v_2)}{vd+Rv_2}$

Aún tengo pendiente desarrollar el tema incluyendo el movimiento de traslación, siguiendo las indicaciones que me has facilitado. Espero llegar a alguna conclusión en breve.

[Alriga]

Re: Variación de la velocidad de rotación terrestre, por el impacto de un meteorito.

Como bien decís, si $R_1$ es el radio de la Tierra, una forma muy simplificada de tener en cuenta que al añadir la masa “m” del asteroide a la masa “M” de la Tierra el radio final sería $R_2 \ > \ R_1$ es plantear, suponiendo solo rotación:

$-m\cdot v\cdot d+\dfrac{2}{5}M R_1^2\omega_1=\dfrac{2}{5}(M+m) R_2^2\omega_2$

Que conduce a:

$$m=\dfrac{\dfrac{2}{5}M(R_1 v_1-R_2 v_2)}{v \cdot d+\dfrac 2 5 R_2 \cdot v_2}$$

Si se considera que la densidad del asteroide es la misma que la de la Tierra:

$\rho=5510 \ kg/m^3$

Se puede estimar:

$$M+m=\rho \ \dfrac 4 3 \ \pi R_2^3$$

Y resolver el sistema de 2 ecuaciones (1) y (2) con 2 incógnitas, “m” y “$R_2$”

Pero creo que no vale la pena. Si calculamos la masa del asteroide para diferentes valores del parámetro de impacto “d” y diferentes velocidades finales “$v_2$” tomando como valores de cálculo:

M	5,972E+24 kg
R	6.378.000 m
v1	463,0 m/s
v	30.000 m/s

Con la fórmula sin tener en cuenta el incremento de radio:

$\boxed{m=\dfrac{\dfrac{2}{5}M R(v_1-v_2)}{v \cdot d+\dfrac 2 5 R \cdot v_2}}$

Se obtiene:

		d = 0,1 R	d = 0,5 R	d = 0,67 R	d = 0,75 R	d = 0,8 R	d = 0,9 R	d = R
		637.800 m	3.189.000 m	4.252.000 m	4.783.500 m	5.102.400 m	5.740.200 m	6.378.000 m
v2 = v1	463,0 m/s	0 kg	0 kg	0 kg	0 kg	0 kg	0 kg	0 kg
v2 = 0,9 v1	416,7 m/s	34,9E+21 kg	7,3E+21 kg	5,5E+21 kg	4,9E+21 kg	4,6E+21 kg	4,1E+21 kg	3,7E+21 kg
v2 = 0,8 v1	370,4 m/s	70,3E+21 kg	14,6E+21 kg	11,0E+21 kg	9,8E+21 kg	9,2E+21 kg	8,1E+21 kg	7,3E+21 kg
v2 = 0,75 v1	347,2 m/s	88,1E+21 kg	18,3E+21 kg	13,7E+21 kg	12,2E+21 kg	11,5E+21 kg	10,2E+21 kg	9,2E+21 kg
v2 = 0,67 v1	308,6 m/s	118,0E+21 kg	24,4E+21 kg	18,3E+21 kg	16,3E+21 kg	15,3E+21 kg	13,6E+21 kg	12,2E+21 kg
v2 = 0,5 v1	231,5 m/s	178,8E+21 kg	36,6E+21 kg	27,5E+21 kg	24,5E+21 kg	23,0E+21 kg	20,4E+21 kg	18,4E+21 kg
v2 = 0,33 v1	154,3 m/s	240,8E+21 kg	49,0E+21 kg	36,8E+21 kg	32,7E+21 kg	30,6E+21 kg	27,2E+21 kg	24,5E+21 kg
v2 = 0,2 v1	92,6 m/s	291,3E+21 kg	58,8E+21 kg	44,2E+21 kg	39,3E+21 kg	36,8E+21 kg	32,7E+21 kg	29,5E+21 kg
v2 = 0,1 v1	46,3 m/s	329,7E+21 kg	66,3E+21 kg	49,7E+21 kg	44,2E+21 kg	41,4E+21 kg	36,8E+21 kg	33,2E+21 kg
v2 = 0	0,0 m/s	368,6E+21 kg	73,7E+21 kg	55,3E+21 kg	49,2E+21 kg	46,1E+21 kg	41,0E+21 kg	36,9E+21 kg

En donde se observa que incluso para un caso tan desfavorable como $d=0.1 \ R_1$ y $v_2=0$ la masa del asteroide es tan solo 6% de la masa de la Tierra, lo que se convierte en apenas un incremento del 2% en el radio: lo dicho, a este nivel de cálculos no vale la pena tenerlo en cuenta.

Saludos.

[Richard R Richard]

Re: Variación de la velocidad de rotación terrestre, por el impacto de un meteorito.

En donde se observa que incluso para un caso tan desfavorable como y

El caso mas desfavorable tiene a la mas alta velocidad del meteorito, $v_1$ , a la velocidad tangencial $v_2$ nula, y el punto de impacto tangencial a la superficie $d\cong R_T$ para tener el máximo momento angular, eso haría mínima la masa necesaria para detener la rotación de la tierra, despreciando el incremento de radio por incorporar la mínima masa...

$m=\dfrac{\dfrac{2}{5}M(R_1 v_1-R_2 v_2)}{v \cdot d+\dfrac 2 5 R_2 \cdot v_2}$

$m=\dfrac{\dfrac{2}{5}M(R_1 v_1-R_2 0)}{v \cdot R_1+\dfrac 2 5 R_1 \cdot 0}$

$m=\dfrac{\dfrac{2}{5}M(R_1 v_1)}{v \cdot R_1}$

$m=\dfrac{2}{5}M\dfrac{v_1}{v}=\notcien{3,69}{22} kg$


para

M	5,972E+24 kg
R	6.378.000 m
v1	463,0 m/s
v	30.000 m/s

coincido que es la mínima masa que detiene la rotación , pero no la traslación.

El tema del incremento del radio lo propuse, previniendo algunas escenas más apocalípticas...


Para detener la traslación debe pasar que $v=V_{meteorito}-V_{traslacion}$

si $\frac{d}{R}=\cos \alpha$

$MV_{traslacion}= m V_{meteorito}\sin \alpha$

queda un sistema de ecuaciones de 2x2 para resolver con eso se calcula la masa y el ángulo de impacto que debe ser preciso....

[JCB]

Re: Variación de la velocidad de rotación terrestre, por el impacto de un meteorito.

Gracias a los dos, Richard y Alriga.
No obstante, después de la observación de Richard en el mensaje # 2, considero que la expresión correcta de la masa del meteorito es (ver mensaje # 3):

$m=\frac{\frac{2}{5}MR(v_1-v_2)}{vd+Rv_2}$

¿ Por qué ? Pues porque el meteorito, por su tamaño, queda como una protuberancia en la corteza de la Tierra, no provoca un aumento del radio terrestre de manera uniforme, y por tanto, el momento de inercia total, es la suma del momento de inercia de la Tierra ($\frac{2}{5}MR^2$), más el momento de inercia del meteorito situado en la corteza ($mR^2$), es decir $I_2=\frac{2}{5}MR^2+mR^2$ (lo que decía Richard en el mensaje # 2).

[Alriga]

Re: Variación de la velocidad de rotación terrestre, por el impacto de un meteorito.

... el meteorito, por su tamaño, queda como una protuberancia en la corteza de la Tierra, no provoca un aumento del radio terrestre de manera uniforme, ..

Eso no se ha observado nunca ni en la Tierra ni en ningún gran planeta o satélite del sistema solar. Los meteoritos producen cráteres, no montañas. Si sobrevive algo del meteorito sin volatilizarse, queda enterrado en el centro del cráter.

Cráter del Meteorito de Arizona

De todas maneras todo esto es un poco hablar por hablar. Un meteorito de unas dimensiones capaces de alterar el período de rotación de la Tierra:

1. Lo más probable es que le arrancase un trozo, se cree que la Luna se formó así: Teoría del gran impacto, La Tierra chocó con un planeta gemelo para crear la Luna

2. Debido al tremendo calor el meteorito se fundiría con un volumen similar al del meteorito de material de la propia Tierra, y el magma líquido mezcla "meteorito+volumen de tierra" se redistribuiría por toda la Tierra hasta llegar a la forma cuasiesférica. Es lo que sucedió, observa que la Tierra es esférica después de fundirse con el pedazo de Theia que sobró de la formación de la Luna.

Saludos.

[JCB]

Re: Variación de la velocidad de rotación terrestre, por el impacto de un meteorito.

Gracias Alriga.

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