Otras carreras Demostración lanzamiento de proyectil

[cristianoceli]

Hola tengo problemas con esta demostración


Un proyectil que tiene un alcance horizontal $R$ llega a una altura máxima $H$. Demostrar que debe haberse disparado con una rapidez inicial igual a


$v_0 = \sqrt[ ]{\displaystyle\frac{g(R^2+16H)}{8H}}$ y forma un ángulo con la horizontal $\alpha = sin^{-1} (\displaystyle\frac{4H}{\sqrt[ ]{R^2+16H^2}})$


Lo que hice fue igualar $R$ y $H$ con las fórmulas de posición quedando:


$R= v_0cos\alpha t$ (1)


$H= v_0sin \alpha t -\displaystyle\frac{1}{2}gt^2$ (2)


De (1) sale que $t = \displaystyle\frac{R}{v_0cos\alpha}$ y reemplazando $t$ en (2)


$H = v_0sin\alpha \displaystyle\frac{R}{v_0cos\alpha}- \displaystyle\frac{1}{2}g \displaystyle\frac{R^2}{v_0^2{cos}^2 \alpha}$


$H= \displaystyle\frac{sin\alpha R}{cos\alpha}-\displaystyle\frac{gR^2}{2v_0^2{cos}^2\alpha}$


$H = tan \alpha R -\displaystyle\frac{gR^2}{2v_0^2{cos}^2\alpha}$


Finalmente al despejar $v_0$ llego a que es:


$v_0 = \sqrt[ ]{\displaystyle\frac{-gR^2}{2Hcos\alpha-2tan \alpha R {cos}^2\alpha}}$


y no llego al resultado que me piden.


De antemano muchas gracias

[Richard R Richard]

Re: Demostración lanzamiento de proyectil

creo que la formula $v_0 = \sqrt[ ]{\displaystyle\frac{g(R^2+16H)}{8H^2}}$ esta mal es en realidad $v_0 = \sqrt{\displaystyle\frac{g(R^2+16H^2 )}{8H}}$

si es así se puede llegar a la solución, revisa si esta bien el tipeo y si es correcto como digo , te paso un desarrollo, para llegar a esas conclusiones...

[cristianoceli]

Re: Demostración lanzamiento de proyectil

Si error de tipeo lo arreglo en breve

[Richard R Richard]

Re: Demostración lanzamiento de proyectil

Ok, veamos

usando la formula de alcance

$$V\cos\alpha t=R\,\to\,\cos\alpha=\dfrac{R}{Vt}\,\to\,\cos^2\alpha=\dfrac{R^2}{V^2t^2}$$

Sabiendo que la velocidad vertical de caida al momento de tocar el suelo es la misma que la velocidad vertical de lanzamiento

$$-V\sin\alpha=V\sin\alpha-gt\,\to\,\sin\alpha=\dfrac{gt}{2V}\,\to\,\sin^2\alpha=\dfrac{g^2t^2}{4V^2}$$

con la formula del dezplazamiento independiente del tiempo y usando 2

$$V^2\sin^2\alpha=2gH=\dfrac{g^2t^2}{4}\,\to\,\sin^2\alpha=\dfrac{2gH}{V^2}$$

de donde sacas que

$$t^2=\dfrac{8H}{g}$$

como

$$\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1$$

uso los valores obtenidos en 1 y 3 remplazando el tiempo al cuadrado de 4 en 5

$$\dfrac{2gH}{V^2}+\dfrac{R^2}{V^2\dfrac{8H}{g}}=1$$

acomodando

$$16gH^2+R^2g=V^28H$$

si

$$a^2+b^2=c^2$$

podemos decir

$$\sin\alpha=\dfrac{a}{c}=\dfrac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}$$

haciendo lo mismo en 7 queda

$$\sin\alpha=\dfrac{4H}{\sqrt[ ]{R^2+16H^2}}$$

cqd1 y reemplazando en seno de alfa en la ecuacion 3

$$V^2\sin^2\alpha=2gH=V^2\left(\dfrac{4H}{\sqrt[ ]{R^2+16H^2}}\right)^2=V^2\left(\dfrac{16H^2}{R^2+16H^2}\right)$$

despejando V

$$v_0 =V= \sqrt{\displaystyle\frac{g(R^2+16H^2 )}{8H}}$$

cqd2

[cristianoceli]

Re: Demostración lanzamiento de proyectil

Ok, veamos

usando la formula de alcance

$$V\cos\alpha t=R\,\to\,\cos\alpha=\dfrac{R}{Vt}\,\to\,\cos^2\alpha=\dfrac{R^2}{V^2t^2}$$

Sabiendo que la velocidad vertical de caida al momento de tocar el suelo es la misma que la velocidad vertical de lanzamiento

$$-V\sin\alpha=V\sin\alpha-gt\,\to\,\sin\alpha=\dfrac{gt}{2V}\,\to\,\sin^2\alpha=\dfrac{g^2t^2}{4V^2}$$

con la formula del dezplazamiento independiente del tiempo y usando 2

$$V^2\sin^2\alpha=2gH=\dfrac{g^2t^2}{4}\,\to\,\sin^2\alpha=\dfrac{2gH}{V^2}$$

de donde sacas que

$$t^2=\dfrac{8H}{g}$$

como

$$\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1$$

uso los valores obtenidos en 1 y 3 remplazando el tiempo al cuadrado de 4 en 5

$$\dfrac{2gH}{V^2}+\dfrac{R^2}{V^2\dfrac{8H}{g}}=1$$

acomodando

$$16gH^2+R^2g=V^28H$$

si

$$a^2+b^2=c^2$$

podemos decir

$$\sin\alpha=\dfrac{a}{c}=\dfrac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}$$

haciendo lo mismo en 7 queda

$$\sin\alpha=\dfrac{4H}{\sqrt[ ]{R^2+16H^2}}$$

cqd1 y reemplazando en seno de alfa en la ecuacion 3

$$V^2\sin^2\alpha=2gH=V^2\left(\dfrac{4H}{\sqrt[ ]{R^2+16H^2}}\right)^2=V^2\left(\dfrac{16H^2}{R^2+16H^2}\right)$$

despejando V

$$v_0 =V= \sqrt{\displaystyle\frac{g(R^2+16H^2 )}{8H}}$$

cqd2

Muchas gracias. La probabilidad de que se me hubiese ocurrido hacerlo así es muy escasa

Impresionante.

Saludos

[JCB]

Re: Demostración lanzamiento de proyectil

Yo también lo intenté, pero no llegué a las expresiones demandadas ni por asomo.

[cristianoceli]

Re: Demostración lanzamiento de proyectil

Hola Richard solo me quedó una duda en el punto (3) ¿Cuál es la formula del dezplazamiento independiente del tiempo ?

Saludos

[Richard R Richard]

Re: Demostración lanzamiento de proyectil

surge de la conservación de la energia mecanica, o bien de reemplazar el tiempo que tarda en subir a la altura maxima, con el tiempo que tarda en llegar la velocidad vertical en hacerce nula


vamos con la de la conservación de la energía mecánica,

cuando lanzas tienes

$Em_1=\frac 12 mv_o^2+mgh_o$



cuando llegas a la altura que buscas

$Em_2=\frac 12 mv_2^2+mgh_2$

si planteas la conservacion $Em_1=Em_2$

entonces

$$\frac 12 mv_o^2+mgh_o=\frac 12 mv^2+mgh$$

si supones que$h_o=0$ y y la velocidad $v_o=\sqrt{v_h^2+v_v^2}$


en modulo calculada en función de la velocidad horizontal y Vertical

cuando llega a la altura máxima la velocidad vertical es nula $v_v=0$

si remplazas en 1 los valores y funciones


$\frac 12 mv_o^2+mgh_o=\frac 12 mv_h^2+\frac 12 mv_v^2+mg0=\frac 12 mv_h^2+\frac 12 m0^2+mgh$

sacando en limpio los dos ultimos terminos

$\cancel{\frac 12 mv_h^2}+\frac 12 mv_v^2=\cancel{\frac 12 mv_h^2}+mgh$

$\frac 12 \cancel{m}v_v^2=\cancel{m}gh$

pasando al otro lado la fraccion

$v_v^2=2gh\,\to\,v_v=\sqrt{2gH}$

es la ecuacion de la velocidad independiente del tiempo

en su foma mas general de cinematica es

$$V_f^2-V_i^2=-2g (H_f-H_i)$$

pero tambien $v_v=v_o\sin\alpha$

entonces

$v_o^2\sin^2\alpha= 2gH$ que es lo que nos sirve de la formula 3

y si lo haces por cinematica

sabes que la velocidad vertical es nula a la altura maxima y entonces

$$v_v-gt=v_o\sin\alpha-gt=0,\to\, t=\dfrac{v_o\sin\alpha}{g}$$

y por la ecuacion del desplazamiento

$$H_f=H_i+v_o\sin\alpha t-\frac 12 g t^2$$

si reemplazas el tiempo de 4 en 5

$H_f=H_i+v_o\sin\alpha \dfrac{v_o\sin\alpha}{g}-\frac 12 g \left(\dfrac{v_o\sin\alpha}{g}\right)^2$

si reemplazas valores y resuelves llegas de vuelta a la expresión 3

[cristianoceli]

Re: Demostración lanzamiento de proyectil

Muchas gracias


Saludos