Otras carreras Demostración altura máxima de un proyectil

[cristianoceli]

Hola no me resulta la siguiente demostración de altura máxima (no subo lo que hice porque no llego a nada comestible)


Se dispara un proyectil desde una quebrada de altura $H$ sobre el nivel del mar, formando un ángulo $\alpha$ con la horizontal. Si cae al mar a una distancia $D$ del acantilado, comprobar que su altura máxima por encima del nivel del mar es




$h_{max}= H + \displaystyle\frac{D^2{tan}^2\alpha}{4(H+Dtan \alpha)}$




De antemano muchas gracias.




Saludos

[angel relativamente]

Re: Demostración altura máxima de un proyectil

La ecuación de la posición en el eje y es
$y=H+v_{0y}t+\dfrac 12 gt^2=H+v_0 \sin \alpha t-\dfrac 12 gt^2$

La de velocidad es
$v_y=v_{0y} -gt =v_0 \sin \alpha - gt$

La altura será máxima cuando su velocidad vertical se anule, es decir cuando

$v_0 \sin \alpha - gt \Rightarrow t =\dfrac{v_0 \sin \alpha }{g}$

Sustituyendo tenemos

$h_{max}=H+\dfrac{v_0^2 \sin^2 \alpha }{g} -\dfrac 12 g\dfrac{v_0^2 \sin^2 \alpha }{g^2}=H+\dfrac{v_0^2 \sin^2 \alpha}{2g}$

Para sacar $v_0$ basta tener en cuenta que, cuando $y=0$ (cuando alcanza el mar), ha recorrido una distancia $D$. El tiempo que tarda en recorrer D es

$D=v_{0x} t = v_0 \cos \alpha t \Rightarrow t = \dfrac{D}{v_0 \cos \alpha }$

En ese tiempo alcanza una altura $y=0$, por lo que sustituyendo queda

$0=H+v_0 \sin \alpha \dfrac{D}{v_0 \cos \alpha } - \dfrac 12 g \dfrac{D^2}{v_0^2 \cos^2 \alpha } \Rightarrow v_0^2 = \dfrac{gD^2}{2\cos^2 \alpha (H+D\tan \alpha ) }$

Finalmente sustituyendo en la fórmula de $h_{max}$ llegas a

$h_{max}=H+ \dfrac{gD^2}{2\cos^2 \alpha (H+D\tan \alpha ) } \dfrac{ \sin^2 \alpha}{2g}=H+ \dfrac{D^2 \tan^2 \alpha}{4 (H+D\tan \alpha )}$

[cristianoceli]

Re: Demostración altura máxima de un proyectil

Muchas gracias muy claro.


Saludos