Secundaria Duda trabajo Masa de la Tierra

[Alofre]

Hola,

estoy en 2º de Bach y mi profesor de Física nos ha dado a elegir diversos proyectos sobre el tema 1 que es "Campo gravitatorio y Ley de Gravitación Universal". Yo escogí uno en el que tenías que usar un simulador para obtener la v_orb de un satélite y su altura, y tras varias medidas calcular con ella la masa de la Tierra a través de:
$M=\frac{{v}^{2}*r}{G }$. Obtuve una M=6,1021*10^(24) con un E_a=2,5099*10^22 Y E_r=0,41%.
Sin embargo, mi primera pregunta es ¿qué pasa si en el redondeo que hace el Excel me queda un error relativo de alguna medida igual a 0,00%? ¿Qué hago?

En segundo lugar, el profesor me mandó hacer una gráfica de v^2 vs 1/r y obtener la masa de la Tierra a partir de la pendiente. Yo lo que he hecho es calcular la recta de mejor ajuste (con su pendiente) pero no estoy muy seguro de como continuar. Lo que hice fue m=G*M, M=m/G pero la masa de la Tierra me da de orden 10^25 ¿Es posible que sea un error de precisión o tengo algo mal?

Agradecería infinitamente algún consejo o indicación.

[Richard R Richard]

Re: Duda trabajo Masa de la Tierra

Yo escogí uno en el que tenías que usar un simulador para obtener la v_orb de un satélite y su altura, y tras varias medidas calcular con ella la masa de la Tierra a través de:
$M=\frac{{v}^{2}*r}{G }$.

en que punto de la órbita tomaste la velocidad orbital, en el apogeo, en el perigeo, es la velocidad media?,o son orbitas elipticas? o supones solo órbitas circulares

Obtuve una M=6,1021*10^(24) con un E_a=2,5099*10^22 Y E_r=0,41%.
Sin embargo, mi primera pregunta es ¿qué pasa si en el redondeo que hace el Excel me queda un error relativo de alguna medida igual a 0,00%? ¿Qué hago?

si el error absoluto y relativo son nulos quiere decir que esa medida, es igual en valor a la media que has calculado, nada más.

En segundo lugar, el profesor me mandó hacer una gráfica de v^2 vs 1/r y obtener la masa de la Tierra a partir de la pendiente. Yo lo que he hecho es calcular la recta de mejor ajuste (con su pendiente) pero no estoy muy seguro de como continuar. Lo que hice fue m=G*M, M=m/G pero la masa de la Tierra me da de orden 10^25 ¿Es posible que sea un error de precisión o tengo algo mal?

Agradecería infinitamente algún consejo o indicación.

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una recta tiene una ecuación

$y=Ax+B$

como sabes que la relación a priori es directamente proporcional entre el cuadrado de la velocidad y la inversa del radio
te queda

$y=Ax$ deberías forzar a tu recta a que B sea nula.

en tu modelo $y=v_{orb}^2$ y $x=\dfrac 1r$

de modo que

$v_{orb}^2 =GM \dfrac 1r$

donde $GM$ es la pendiente de la recta que mejor se ajuste a los puntos que has obtenido experimentalmente.

como G es una constante de proporcionalidad dividiendo por ella calculas la masa de la tierra.

la pendiente la obtienes con $\dfrac{\Delta y}{\Delta x}=\dfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$ de un par de puntos marcados sobre la recta.

[Alofre]

Re: Duda trabajo Masa de la Tierra

- Simplemente cogí una velocidad para una altura concreta (en el simulador podías hacerlo) por ejemplo v=7,40 km/s a r=7398 km

si el error absoluto y relativo son nulos quiere decir que esa medida, es igual en valor a la media que has calculado, nada más.

Ya, pero en el trabajo pongo error relativo del 0,00% para esa medida? No es un poco raro?

En cuanto a la pendiente, no es mejor coger la pendiente de la recta de mejor ajuste? No es más exacto? Y es normal que me de una M=1,24*10^25 usando ese método? Es que usando el método anterior, poniendo M_t en función de v^2, G y r, sin calcular la pendiente primero me daba M_t=6,1*10^24...

[Richard R Richard]

Re: Duda trabajo Masa de la Tierra

- Simplemente cogí una velocidad para una altura concreta (en el simulador podías hacerlo) por ejemplo v=7,40 km/s a r=7398 km

Aver si entiendo, tu programa te permite elegir una altura de órbita y te devuelve una velocidad orbital? o bien le ingresas una velocidad orbital te devuelve una altura de órbita,? porque no puedes elegir ambas cosas como dato...


si usas órbitas circulares internamente el simulador o bien hace $v=\sqrt{\dfrac{GM}{r}}$ o bien $r=\sqrt{\dfrac{GM}{v^2}}$


y si usas órbitas elípticas calculara $v=\sqrt{2GM\left(\dfrac{1}{r}-\dfrac{1}{2a}\right)}$ o bien $r=\dfrac{1}{\dfrac{v^2}{2GM}+\dfrac{1}{2a}}$



no puede cambiar ni el valor del semieje mayor $a$ ni el valor de $G$ ni el de $M$ que intentas determinar...

Con los datos ingresados y obtenidos haces tu grafica $v^2_{(\frac 1r)}$ , simplemente no puedes ingresar los dos datos $v$ y $r$ al azar y que pertenezcan sea una órbita circular de un satélite de la tierra.

Ya, pero en el trabajo pongo error relativo del 0,00% para esa medida? No es un poco raro?

para si los datos son 1,2,3,4,5 y calculo la media o promedio y me da 3 , el dato de valor 3 tiene un error absoluto y relativo nulo, no hay nada de raro en ello, es solo una casualidad y significa que has obtenido un dato muy similar a la media.

En cuanto a la pendiente, no es mejor coger la pendiente de la recta de mejor ajuste? No es más exacto? Y es normal que me de una M=1,24*10^25 usando ese método? Es que usando el método anterior, poniendo M_t en función de v^2, G y r, sin calcular la pendiente primero me daba M_t=6,1*10^24...

Miralo de este modo que interpretación física tendría ese valor de B , lo que interesa a la obtención de la masa de la tierra es la pendiente directa entre $v^2$ y $\frac 1r$ ese valor de B implicaría que en el infinito, no se tenga energía cinetica nula en la órbita, o es decir, se hace nula antes o bien después, y eso no es cierto.

Ninguno de los dos datos M=1,24*10^25 o M_t=6,1*10^24 esta muy mal, estas en el orden del dato real. Seguramente si agregas mas datos al calculo que 5 como veo en la gráfica el primero debe mejorar sensiblemente , yo escogería datos radiales no muy próximos entre si para obtener datos de velocidades orbitales bastante alejados, de modo que marquen mejor la pendiente...

[Alofre]

Re: Duda trabajo Masa de la Tierra

Miralo de este modo que interpretación física tendría ese valor de B , lo que interesa a la obtención de la masa de la tierra es la pendiente directa entre $v^2$ y $\frac 1r$ ese valor de B implicaría que en el infinito, no se tenga energía cinetica nula en la órbita, o es decir, se hace nula antes o bien después, y eso no es cierto.

Ninguno de los dos datos M=1,24*10^25 o M_t=6,1*10^24 esta muy mal, estas en el orden del dato real. Seguramente si agregas mas datos al calculo que 5 como veo en la gráfica el primero debe mejorar sensiblemente , yo escogería datos radiales no muy próximos entre si para obtener datos de velocidades orbitales bastante alejados, de modo que marquen mejor la pendiente...

mmm pero esto también me podría pasar calculando m con una para de valores cualesquiera no?

[Richard R Richard]

Re: Duda trabajo Masa de la Tierra

mmm pero esto también me podría pasar calculando m con una para de valores cualesquiera no?

Si la simulación esta bien lograda, al aumentar el numero de muestras la tendencia tiene que ser que B sea nulo para el mejor ajuste, como dispones de pocos datos ese B te sale grande, y lo mejor es ajustar a B nulo.
respondiendo tu pregunta, si con dos datos puedes tener una pendiente, pero no puedes garantizar que sea la que mejor ajuste, y no este fuertemente influenciada por errores de redondeos.

de modo que deberías ajustar a algo similar a algo ilustrativo como esto,



donde la tangente del ángulo con respecto a la horizontal te da la pendiente

$\tan\alpha=\dfrac{\Delta y}{\Delta x}=\dfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1}\cong GM$

Edito :Adrede he marcado un punto x sobre la recta que sería aquel que tiene error relativo y absolutos nulos con respecto a la media.