1r ciclo Demostración velocidad y aceleración en coordenadas polares

[cristianoceli]

Hola no entiendo esta demostración de coordenadas polares


Demostrar que en coordenadas polares:


La velocidad se da por $v= \dot r e_R + r \dot \theta e_{\theta}$ y la aceleración se expresa como $a= (\ddot r-r{\dot \theta}^2 )e_R +(r \ddot \theta +2 \dot r \dot \theta) e_{\theta}$

Encontré la demostración en esta página http://laplace.us.es/wiki/index.php/Coordenadas_polares pero no me queda nada claro


De antemano gracias.


Saludos

[Alriga]

Re: Demostración velocidad y aceleración en coordenadas polares

Hola, la demostración del enlace que proporcionas, 3 Vectores cinemáticos en coordenadas polares me parece detallada, clara y completa.

Parte de la definición de velocidad, que es la derivada del radio-vector

$\vec v=\dfrac{d\vec r}{dt}$



Expresa el radio vector en coordenadas polares, según dibujo adjunto en el que $\vec u_{\rho}$ y $\vec u_{\theta}$ son los vectores unitarios polares. En el dibujo se observa que el radio vector es:

$\vec r=\rho \vec u_{\rho}+ 0 \cdot \vec u_{\theta}=\rho \vec u_{\rho}$

A continuación hace la derivada del producto y obtiene:

$\vec v=\dot \rho \vec u_{\rho}+\rho \dot{\vec u}_{\rho}$

Los vectores unitarios polares expresados en coordenadas cartesianas, tal como se deduce del dibujo mediante trigonometría básica son:

$$\vec u_{\rho}=1 \cdot \cos \theta \vec i+1 \cdot \sin \theta \vec j=\cos \theta \vec i+\sin \theta \vec j$$

$$\vec u_{\theta}=1 \cdot (- \sin \theta) \vec i+1 \cdot \cos \theta \vec j=-\sin \theta \vec i+\cos \theta \vec j$$

Se deriva (1) aplicando la regla de la cadena

$\dot{\vec u}_{\rho}=\dfrac{d\vec u_{\rho}}{d\theta} \dfrac{d\theta}{dt}=(-\sin \theta \vec i+\cos \theta \vec j) \ \dot \theta= ver \ ecuacion(2) \ =\dot \theta \ \vec u_{\theta}$

Por lo tanto

$\vec v= \dot \rho \vec u_{\rho}+\rho \dot \theta \vec u_{\theta}$

Para la aceleración se procede de forma similar. Es sencillo si lo sigues con cuidado, si tienes alguna duda en algún punto concreto vuelve a preguntar.

Saludos.

[cristianoceli]

Re: Demostración velocidad y aceleración en coordenadas polares

Si me apresuré en preguntar.


Saludos.