Problema conservación del momento lineal

[Richard R Richard]

Re: Problema conservación del momento lineal

$\vec P=m\vec v$

$\vec 0 =\dfrac{\partial \vec P}{\partial t}=$

si usas regla de la derivada de una multiplicación de funciones y la regla de la cadena

$\vec 0=m\dfrac{\partial \vec v}{\partial t}+\dfrac{\partial m}{\partial t}\vec v=$

dividiendo por la masa

$0 =\dfrac{\partial \vec v}{\partial t}+\dfrac{\partial m}{m\partial t} \vec v=$

si no hay fuerzas exteriores y el grano cae perpendicular y sin rozamiento


$\dfrac{\partial \vec v}{\partial t}=-\dfrac{\partial m}{m\partial t} \vec v$

$\dfrac{\partial \vec v}{\partial t}=-\dfrac{-10kg/s}{14000kg}\vec v$

$\dfrac{d \vec v}{\vec v}=\dfrac{10kg/s}{14000kg} d t$

$\dst\int\limits_{V_o}^{V_f}\dfrac{d \vec v}{\vec v}=\dst\int\limits_{t_o}^{t_f}\dfrac{10kg/s}{14000kg} d t$

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

$V=V_o\ee^{ \dfrac{10t}{14000}}$

luego integro para hallar el desplazamiento

$V=\dfrac{\partial X}{\partial t}=V_o\ee^{ \dfrac{10 t}{14000}}$

$\Delta x =\dst\int\limits_{X_o}^{X_f}d x=\dst\int\limits_{t_o}^{t_f}V_o\ee^{ \dfrac{10t}{14000}} d t$

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

luego despejo el tiempo

$\dfrac{14000}{10}\ln\left( \dfrac{500 \cdot 10}{4\cdot 14000}+1 \right)=\boxed{t_f=119.73 s}$

[Chails]

Hola, llevo unos días dándole vueltas a este problema y no sé como plantearlo.

La primera parte dice: Un vagón de ferrocarril incontrolado de masa 14000 kg se desplaza horizontalmente a 4 m/s hacia un cambio de agujas. Al pasar cerca de un almacén de grano, 2000 kg de grano caen súbitamente sobre el vagón. ¿Cuánto tiempo tardará el vagón en cubrir la distancia de 500m que hay desde el almacén hasta el cambio de agujas? Suponer que el grano cae verticalmente y que la desaceleración debida al rozamiento por rodadura y la resistencia del aire es despreciable.

Esta primera parte la sé solucionar:

$\vec{P}=\vec{P}_{0}$

$({m}_{vagon}+{m}_{grano})$ $\cdot {V}_{f}={m}_{vagon}\cdot{V}_{0}$

${V}_{f}=\frac{{m}_{vagon}\cdot{V}_{0}}{{m}_{vagon}+{m}_{grano} }$

${V}_{f}=\frac{14000\cdot 4}{14000+2000}=\frac{56000}{16000}=3.5\frac{m}{s}$

$t=\frac{d}{v}=\frac{500}{3.5}=142.8s$

Pero ahora el ejercicio pone: Supongamos que hay un pequeño agujero en el fondo del vagón, de modo que el grano se escapa por él a razón de 10 kg/s. ¿Cuánto tiempo tarda ahora el vagón en cubrir los 500m?
No sé como plantearlo