Otras carreras Centro de masa de un cubo sin tapadera.

[NombredDeUsuario]

Buenas, necesito ayuda para calcular el centro de masa de un cubo sin tapadera. La solución del problema es: x=L/2=y, z=2L/5 . Y no se como llegar a ella. No entiendo por que el CM de un cubo sin tapadera es distinto al de un cubo completo.

Pd: Intento hacerlo aplicando integración, agarrando un diferencial de z en mi caso (dz) y realizando las correspondientes sustituciones con dm = \rho · dS = \rho · (dz · L).

El problema dice así: Una caja metalica tiene la forma de un cubo de lado L. Encontrar el centro de masa de la caja sin tapadera.

¡Muchas gracias!

[Alriga]

Re: Centro de masa de un cubo sin tapa

Hola NDU, bienvenido a La web de Física, por favor lee con atención Consejos para conseguir ayuda de forma efectiva

Hay que calcular el Centro de Masa de un cubo al que le falta una cara. Supongamos el cubo con un vértice apoyado en el origen de coordenadas, 3 aristas según los 3 ejes, y el centro del cubo situado en (L/2, L/2, L/2)

Si llamas "m" a la masa de cada cara, se puede considerar por simetría que toda la masa de cada cara está en el centro de esa cara. Por lo tanto el problema es equivalente a hallar el centro de masa de 5 partículas de masa "m" colocada cada una en la posición:

$\vec r_1=(L/2, \ L/2, \ 0)$ la inferior

$\vec r_2=(L/2, \ 0, \ L/2)$ la de la izquierda

$\vec r_3=(L/2, \ L, \ L/2)$ la de la derecha

$\vec r_4=(L, \ L/2, \ L/2)$ la de delante

$\vec r_5=(0, \ L/2, \ L/2)$ la de detrás

Y no hay cara superior, según el enunciado. Aplicando la definición de centro de masa:

$\vec r_{cm}=\dfrac {\dst \sum_{i=1}^n m_i \vec r_i}{\dst \sum_{i=1}^n m_i}$

$\vec r_{cm}=\dfrac{m\vec r_1+m\vec r_2+m\vec r_3+m\vec r_4+m\vec r_5} {m+m+m+m+m} \cdot$

$\vec r_{cm}=\dfrac m{5 m} \cdot (\vec r_1+\vec r_2+\vec r_3+\vec r_4+\vec r_5)$

$\vec r_{cm}=\dfrac 1{5} \cdot \left (\dfrac{5L}2, \ \dfrac{5L}2, \ 2L \right )$

$\vec r_{cm}=\left (\dfrac L 2, \ \dfrac L 2, \ \dfrac{2L}5 \right )$

Observa que se obtiene algo completamente lógico, las coordenadas "x" e "y" del Centro de Masa son ambas L/2 (la cara de la izquierda compensa a la de la derecha y la cara de delante compensa a la de detrás), mientras que la coordenada "z" del CdM, al no haber "tapa" superior que compense a la cara inferior, está por debajo del centro del cubo, está en 2L/5 que es menor que L/2

Saludos.

[JCB]

Re: Centro de masa de un cubo sin tapadera.

La sencillez es bella

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Hola a todos.

Copiando descaradamente la idea de Alriga y siguiendo su concepto de sencillez, a mí se me ocurre considerar un tubo de longitud L y sección cuadrada L (con masa concentrada 4m), más una base cuadrada L (con masa concentrada m). De esta manera:

$\vec{r}_{tubo}=\dfrac{L}{2}\vec{i}+\dfrac{L}{2}\vec{j}+\dfrac{L}{2}\vec{k}$,

$\vec{r}_{cuadrado}=\dfrac{L}{2}\vec{i}+\dfrac{L}{2}\vec{j}$,

$\vec{r}_{cdm}=\dfrac{4m(\dfrac{L}{2}\vec{i}+\dfrac{L}{2}\vec{j}+\dfrac{L}{2}\vec{k})+m(\dfrac{L}{2}\vec{i}+\dfrac{L}{2}\vec{j})}{5m}=\dfrac{L}{2}\vec{i}+\dfrac{L}{2}\vec{j}+\dfrac{2L}{5}\vec{k}$

De todas formas, estas son las soluciones analíticas. Recuerda / repasa que: el centro de masas de un sistema discreto o continuo es el punto geométrico que dinámicamente se comporta como si en él estuviera aplicada la resultante de las fuerzas externas al sistema (Wikipedia dixit: https://es.wikipedia.org/wiki/Centro_de_masas).