Secundaria Intensidad de campo gravitatorio en un planeta (Tierra) con regiones de distinta densidad

[Alofre]

Hola,
estoy intentando hacer un problema en el que se plantea lo siguiente:

Considérese un planeta conformado por un núcleo de radio R_planeta/2 y con densidad $\rho_1$. El manto lo conforma el resto de la esfera y tiene un densidad
$\rho_2$ tal que $\rho_1$=5/2$\rho_2$. Calcule:
A) Una expresión para la masa del planeta y para su densidad media.
B) Calcule la intensidad del campo gravitatorio en la superficie y entre el manto y el núcleo
(y otros apartados...)


Bien mi problema es el siguiente. Resolví el ejercicio adecuadamente, sin embargo hay algo que no entiendo:


Bien, cuando estamos en el punto verde ¿No debería atraernos no solo el núcleo si no también todo el manto, una parte (azul) hacia el núcleo y otra violeta hacia afuera? Mi hipótesis de porque no lo hace es
$\phi_T$=$\phi_nucleo$+$\phi_manto$;
$\phi_manto$= -4piGM_int pero la masa del núcleo en el interior de esa superfice gaussiana es 0 por lo que el campo generado por el manto es 0.
Esta deducción tiene sentido?

En segundo lugar, si se nos pidiese calcular g en el manto, no deberíamos (ahí sí) tener en cuenta la masa del núcleo más la del manto que llevamos? Siendo el caso más lejano el de la superficie...
Muchas gracias!!

[Lorentz]

Re: Intensidad de campo gravitatorio en un planeta (Tierra) con regiones de distinta densidad

Bien, cuando estamos en el punto verde ¿No debería atraernos no solo el núcleo si no también todo el manto, una parte (azul) hacia el núcleo y otra violeta hacia afuera? Mi hipótesis de porque no lo hace es
=+;
= -4piGM_int pero la masa del núcleo en el interior de esa superfice gaussiana es 0 por lo que el campo generado por el manto es 0.
Esta deducción tiene sentido?

Sí, correcto. Bueno, sólo mencionar que cuando has dicho "la masa del núcleo en el interior de esa superfice gaussiana es 0 " quieres decir que la masa del manto en el interior de la superficie gaussiana que engloba exclusivamente el núcleo es 0.

En segundo lugar, si se nos pidiese calcular g en el manto, no deberíamos (ahí sí) tener en cuenta la masa del núcleo más la del manto que llevamos? Siendo el caso más lejano el de la superficie...

Correcto, dos de dos.

Un saludo

[Richard R Richard]

Re: Intensidad de campo gravitatorio en un planeta (Tierra) con regiones de distinta densidad

La expresión para la masa del planeta te queda como la suma de las masas de las dos capas

$M=\rho_1\dfrac43 \pi (\frac R2)^3+\rho_2\dfrac43 \pi \left(R^3-\frac {R^3}8\right )=\rho_1\dfrac{19}{30}\pi R^3$

la densidad media es la masa total sobre el volumen total

$\rho_m=\rho_1\dfrac{ (\frac R2)^3+\frac 25\left(R^3-\frac {R^3}8\right )}{R^3}=\rho_1\dfrac{19}{40}$

la gravedad en el punto entre manto y núcleo solo depende de la masa gausiana encerrada que es la correspondiente al núcleo

$g_{R/2}=\dfrac{G \rho_1\dfrac43 \pi (\frac R2)^3}{ (\frac R2)^2}=\dfrac23 G \rho_1 \pi R$

y en la superficie exterior

$g_R=G\dfrac{ \rho_1\dfrac43 \pi (\frac R2)^3+\rho_2\dfrac43 \pi \left(R^3-\frac {R^3}8\right )}{R^2}<br />$

$g_R=GR\pi\rho_1 \dfrac{19}{30}$

Esta deducción tiene sentido?

Si

En segundo lugar, si se nos pidiese calcular g en el manto, no deberíamos (ahí sí) tener en cuenta la masa del núcleo más la del manto que llevamos? Siendo el caso más lejano el de la superficie...
Muchas gracias!!

en el interior del manto la gravedad es la creada por la masa del núcleo mas la porción de masa entre el radio intermedio r y R/2 correspondiente al manto.

[Alofre]

Re: Intensidad de campo gravitatorio en un planeta (Tierra) con regiones de distinta densidad

Ya lo veo! :-) Muchísimas gracias por las excelentes respuestas!!