Otras carreras bloque que descansa sobre un tambor (número de vueltas)

[cristianoceli]

Hola tengo dudas con este ejercicio no se ni como plantearlo


Un pequeño bloque de masa $m$ descansa sobre un tambor cilíndrico de fondo horizontal de radio $R$. En el instante $t=0$ el bloque se esta moviendo con rapidez $v_0$ apoyado contra el fondo y la pared del tambor. Los coeficientes de roce entre el bloque y la pared y entre el bloque y el cilindro tiene un valor de $\mu$


a) ¿Cuál es el número de vueltas antes de detenerse? ( $n(t) = \displaystyle\frac{v_0}{R+\mu v_0t}$ )


b) ¿Cuál es el número de vueltas si el roce es nulo? ( $n ( \infty ) = \infty$ )


NOTA: Usar coordenadas polares




De antemano gracias.


Saludos

[Richard R Richard]

Re: bloque que descansa sobre un tambor (número de vueltas)

Hola Cristian lo primero que haría es calcular las 2 reacciones normales de los contactos entre superficies de bloque y cilindro
Llamemos subíndice 1 al fondo , 2 a la pared , y sin subíndice a los efectos combinados.

$\dst\sum F_z=0=mg-N_1$

$\dst\sum F_r=m\omega^2R=N_2$

$\dst\sum F_{\theta}=m \alpha R=-\mu N_1-\mu N_2=-\mu mg-\mu m\omega^2R$

Hasta aquí todo normal y similar a otros problemas. Pero se complicara porque la desaceleración depende de la velocidad de giro.
De la ultima ecuación dividimos todo por la masa y el radio

$\alpha =\dfrac{\partial \omega}{\partial t}=-\mu \dfrac{g}{R}-\mu \omega^2$

Que es una ecuación diferencial que se resuelve por variables separadas

$\dst \int\limits_{\frac vR}^0 -\dfrac{\dd \omega}{\mu\left(\dfrac gR+\omega^2\right)}=\int\limits_{0}^t \dd t$

Que tiene solución del tiempo tipo

$\dst \int \dfrac 1{x^2+a^2}\:\dd x=<br /> \dfrac 1a\arctan \dfrac xa+C=<br /> -\dfrac 1a arccot \dfrac xa+C$

Evidentemente ya no llegare al resultado que propones en el enunciado, salvo que lo pronostique mal y la siguiente ecuación diferencial para hallar $\theta$ sea mas fácil pero no lo creo.

En esa ecuación debes reemplazar el tiempo al cual omega se hace nulo ya el número de vueltas es theta sobre 2 pi




El segundo punto es lógico que continúe girando eternamente sin consumir energía cinética por fricción, así n es infinito

[cristianoceli]

Re: bloque que descansa sobre un tambor (número de vueltas)

Gracias Richard. Es mas complicado de lo que creía.


Saludos

[Richard R Richard]

Re: bloque que descansa sobre un tambor (número de vueltas)

El tiempo para que se detenga es

$t_d=\frac 1{\mu}\sqrt{\frac Rg}\arctan \dfrac{v_o}{\sqrt{ gR}}$}



Como había pronosticado , resolvi la segunda ecuación diferencial llegando a

$n_{(t)}=\dfrac{\theta}{2pi}=\dfrac{-1}{2\mu\pi}ln\left(|\cos \left(\mu t\sqrt{\frac gR}\right)|\right)$

y allí se ve que


$\lim\limits_{\mu \to 0} n_{(t)}=\infty$

pero reemplazando el tiempo de detención


[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]


simplificando


[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

por trigonometria

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

por propiedades del logaritmo

$n_{(t_d)}=\dfrac{ln\left(gR+v_o^2\right)-ln\left(gR\right)}{4\mu\pi}<br />$


Pd: el resultado $n(t) = \displaystyle\frac{v_0}{R+\mu v_0t}$ sería correcto si siempre la fuerza centrípeta fuera constante durante toda la trayectoria hasta detenerse, pero la centrípeta disminuye con el cuadrado de la velocidad así que este resultado es una errónea simplificación.

[cristianoceli]

Re: bloque que descansa sobre un tambor (número de vueltas)

Muchas gracias Richard. Lo estoy analizabdo.


Saludos

- - - Actualizado - - -

Hola te he seguido bien hasta este punto:

$t_d=\frac 1{\mu}\sqrt{\frac Rg}\arctan \dfrac{v_o}{\sqrt{ gR}}$ obtuve la misma solución

Pero no entiendo ¿Cuál es la segunda ecuación diferencial que hay que resolver par obtener $\theta$ ?

Saludos

[Richard R Richard]

Re: bloque que descansa sobre un tambor (número de vueltas)

$t=\frac 1{\mu}\sqrt{\frac Rg}\arctan \dfrac{\omega \sqrt R}{\sqrt{ g}}<br />$
despejas omega

$\omega =\dfrac gR\tan (\mu t \sqrt{\frac gR})$

sabes que

$\omega=\dfrac{\partial \theta}{\partial t}$

de donde sale ala ecuación

$\dst\int\limits_0^{\theta _f} \dd \theta=\int\limits_0^t \sqrt{\dfrac gR}\tan \left(\mu t\sqrt{\frac gR}\right) \dd t$


con solución

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

luego hay que reemplazar condiciones de contorno para cuando $t=t_d\, \to\, \omega =0$

eso es lo que hice

[cristianoceli]

Re: bloque que descansa sobre un tambor (número de vueltas)

Ahora si me queda claro.


Saludos