Otras carreras Caída rectilínea en campo gravitatorio

[rmbriend]

Hola, tengo el siguiente ejercicio que no logro resolver,

En un objeto celeste la aceleracion de la gravedad g a una distancia x del centro del objeto viene dada por $g={g}_{0}*{R}^{2}/{x}^{2}$, donde ${g}_{0}$ es la aceleracion debido a la gravedad en la superficie del objeto y $x > R$.
Para la Luna, ${g}_{0}= 1,63 \frac{m}{{s}^{2} }$ y $R=3200 km$.
Si se suelta una piedra a partir del reposo desde una altura de 4R por encima de la superfice lunar, ¿con que velocidad impacta la piedra en la Luna?

He intentado distintas enfoques principalmente integrando la formula de la gravedad en funcion a la posicion pero me parece que tengo algun tipo de error conceptual o de base porque nunca logro que el resultado me de en $\frac{m}{{s}^{2}}$

Gracias por su ayuda!

Saludos

[Alriga]

Re: Caída rectilínea en campo gravitatorio

Por costumbre, a la distancia al centro del cuerpo celeste esférico central de masa M la llamaré $r$ en vez de $x$

$$g_0=\dfrac{GM}{R^2}$$

Para $r>R$

$$g=\dfrac{GM}{r^2}$$

De ambas se deduce, como dice el enunciado:

$g=g_0\dfrac{R^2}{r^2}$

Puesto que igualando (1) y (2) se obtiene:

$$GM=g_0 R^2$$

El enunciado te da $g_0=1.63 \ m/s^2$ y el radio $R=3200000 \ m$, por lo tanto $\boldsymbol{GM}=1.63 \cdot 3200000^2=1.66912\cdot 10^{13} \ m^3/s^2$ es en realidad un dato que da el enunciado, aunque lo ha dado de forma indirecta. Al producto $GM=\mu$ se le suele llamar "parámetro gravitacional"

Si m es la masa de la piedra, la Ley de Gravitación Universal de Newton dice, (pongo signo negativo porque la fuerza decrece cuando crece el radio):

$$F=-\dfrac{GM}{r^2} m$$

La 2ª Ley de Newton dice, (para la derivada segunda respecto del tiempo dos veces uso 2 puntos como suele ser habitual):

$$F=m \ \ddot r$$

Igualando (3) y (4) se obtiene la ecuación diferencial:

$$\ddot r=-\dfrac{ G \ M}{r^2}$$

Esta ecuación diferencial la puedes ver resuelta en: Ecuaciones de movimiento rectilíneo bajo la acción de un campo gravitatorio. La velocidad que se obtiene allí cuando la piedra parte del reposo, es:

$$v(r)=- \sqrt{2 \ G M \left ( \dfrac 1 r - \dfrac 1{r_0} \right )}$$

En nuestro caso: $r=R=3200 \ km$, $r_0=4R=12800 \ km$

Poniendo números:

$v=- \sqrt{2 \cdot 1.63 \cdot 3200000^2 \left ( \dfrac 1{3200000} - \dfrac 1{4\cdot 3200000} \right )}=-2797.1 \ m/s$

Si en vez de "poner números" ahí, prefieres simplificar primero:

$v=- \sqrt{2 \ g_0 \ R^2 \left ( \dfrac 1 R - \dfrac 1{4R} \right )}=-\sqrt{\dfrac 3 2 g_0 R}=-2.7971 \ km/s$

Saludos.

[rmbriend]

Re: Caída rectilínea en campo gravitatorio

Alriga, muchas gracias por tu ayuda.
El problema en question se encuentra justo antes del capitulo sobre las leyes de Newton en mi libro de texto, lo que me hace pensar que la respuesta que pretende deberia partir de una solucion que no incluya dichas leyes, es posible pensar en una solucion al problema pura y exclusivamente utilizando integrales?
Saludos

[Alriga]

Re: Caída rectilínea en campo gravitatorio

es posible pensar en una solucion al problema pura y exclusivamente utilizando integrales?

Aunque no hayas dado aun las Leyes de Newton, es necesario como mínimo saber que "g" es la aceleración que sufrirá la piedra, por lo tanto

$\ddot r=-g$

Y hemos demostrado que Y directamente el enunciado te dice que:

$g=g_0\dfrac{R^2}{r^2}$

Llamando:

$g_0\cdot R^2=K$

Resuelve la ecuación diferencial:

$\ddot r=-\dfrac{K}{r^2}$

$\dfrac{d^2r}{dt^2}=-\dfrac{K}{r^2}$

Con el cambio de variable

$\dst {dr \over dt}=v$

tal como que hemos hecho aquí: https://forum.lawebdefisica.com/thre...239#post174239

Saludos.