1r ciclo Dinámica de una partícula en presencia de rozamiento y movimiento circular

[Quim]

He visto este problema en un examen del año pasado y no estoy seguro de que cómo se resuelve. Espero que me puedan ayudar.

Enunciado
Un cuerpo de masa $m$ parte de un punto $A$ con una velocidad de módulo de $v_{0}$. Determine la velocidad del cuerpo cuando llega al punto $B$ suponiendo que el coeficiente de rozamiento dinámico entre el cuerpo y la superficie es $\mu_{d}=\beta(L^2-x^{2})$. Asimismo, calcule el valor mínimo de $v_{0}$ para que el cuerpo complete el movimiento circular de la figura suponiendo que el coeficiente de rozamiento dinámico entre el cuerpo y la superficie circular es $\mu_{c}=\beta(R^2)$, siendo $R$ el radio de dicha superficie.

Figura



Lo que he intentado hacer
En el primer apartado, he intentado aplicar el Principio de Conservación de Energía Mecánica, teniendo en cuenta el trabajo realizado por la fuerza de rozamiento. Y, en el segundo, no sé cómo empezar.

[Alriga]

Re: Dinámica de una partícula en presencia de rozamiento y movimiento circular

Salut Quim, bienvenido a La web de Física. Como nuevo miembro lee con atención Consejos para conseguir ayuda de forma efectiva

Energía cinética inicial:

$\dfrac 1 2 m v_0^2$

Energía cinética final:

$\dfrac 1 2 m v_L^2$

Trabajo realizado por la fuerza de rozamiento:

$F=\mu_d N$

$F=\beta (L^2-x^2) \ m g$

$\dst W=\int_0^L \beta (L^2-x^2) \ m g \ dx$

Igualando, (conservación de la energía):

$\dst \dfrac 1 2 m v_0^2=\dfrac 1 2 m v_L^2+\int_0^L \beta (L^2-x^2) \ m g \ dx$

Resuelve la sencilla integral y despeja $v_L$ para contestar el primer apartado del ejercicio.

¿Qué obtienes? ¿Sabes continuar para resolver el siguiente apartado?

Saludos.

[Richard R Richard]

Re: Dinámica de una partícula en presencia de rozamiento y movimiento circular

El planteo que propones del primer apartado es correcto llegas a

$\frac 12mv_0^2-\dst\int\limits_0^L mg\beta (L^2-x^2) \dd x=\frac 12mv_B^2$
De donde despejas $v_B$

En el segundo apartado aplicas el mismo principio, pero ahora tienes que aplicar que la normal aplicada por la superficie curva al cuerpo se haga nula en el punto superior o donde es liberada.Si aplicas allí equilibrio de fuerzas ,te sale que la aceleración centrípeta es igual a la aceleración de la gravedad de modo que

$\dfrac{v_f^2}{R}=g$

Al plantear la conservación ,reemplazas aplicando la relación , te queda entonces

$\frac 12mv_{min}^2-\dst\int\limits_0^L mg\beta (L^2-x^2) \dd x-\dst\int\limits_0^{\pi } mg\beta (R^2)(R-Rcos\theta) \dd \theta=mg2R+\frac 12mv_f^2=$$mg2R+\frac 12mgR=\frac 52mgR$


De donde despejas $v_{min}$

No había visto tu respuesta ,saludos alriga

Pd ahora que pienso la normal y la centrípeta varían también con el ángulo, luego precisare el cálculo

[Quim]

Re: Dinámica de una partícula en presencia de rozamiento y movimiento circular

En primer lugar, muchas gracias. Y, en segundo lugar, tengo varias dudas respecto a la respuesta que planteas para el primer apartado del problema:

a) Yo normalmente calculo el trabajo realizado por cualquier fuerza (rozamiento, gravitatoria en una caída libre,...) como el producto de la fuerza por el desplazamiento. En este caso, hubiese hecho lo siguiente:
$W_{rozamiento} = -\beta(L^2-x^2)mg\Delta x = -\beta(L^2-x^2)mgL$. ¿Estaría bien así? Si no es así, no entiendo porqué funciona para la caída libre y no para este problema.

b) Una vez que he despejado $v_{L}$ se contesta al ejercicio. Para, el segundo apartado, no sé qué condiciones exigir para que la partícula describa la semicircunferencia de radio R completa.

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Salut Quim, bienvenido a La web de Física. Como nuevo miembro lee con atención Consejos para conseguir ayuda de forma efectiva

Energía cinética inicial:

$\dfrac 1 2 m v_0^2$

Energía cinética final:

$\dfrac 1 2 m v_L^2$

Trabajo realizado por la fuerza de rozamiento:

$F=\mu_d N$

$F=\beta (L^2-x^2) \ m g$

$\dst W=\int_0^L \beta (L^2-x^2) \ m g \ dx$

Igualando, (conservación de la energía):

$\dst \dfrac 1 2 m v_0^2=\dfrac 1 2 m v_L^2+\int_0^L \beta (L^2-x^2) \ m g \ dx$

Resuelve la sencilla integral y despeja $v_L$ para contestar el primer apartado del ejercicio.

¿Qué obtienes? ¿Sabes continuar para resolver el siguiente apartado?

Saludos.

En primer lugar, muchas gracias. Y, en segundo lugar, tengo varias dudas respecto a la respuesta que planteas para el primer apartado del problema:

a) Yo normalmente calculo el trabajo realizado por cualquier fuerza (rozamiento, gravitatoria en una caída libre,...) como el producto de la fuerza por el desplazamiento. En este caso, hubiese hecho lo siguiente:
$W_{rozamiento} = -\beta(L^2-x^2)mg\Delta x = -\beta(L^2-x^2)mgL$. ¿Estaría bien así? Si no es así, no entiendo porqué funciona para la caída libre y no para este problema.

b) Una vez que he despejado $v_{L}$ se contesta al ejercicio. Para, el segundo apartado, no sé qué condiciones exigir para que la partícula describa la semicircunferencia de radio R completa.

[Alriga]

Re: Dinámica de una partícula en presencia de rozamiento y movimiento circular

$W=F \Delta x$ solo es aplicable si la fuerza es constante en todo el recorrido "x" Pero en el caso general en que la fuerza y el desplazamiento son paralelos:

$dW=F(x) \ dx$

$\dst W=\int_{x_0}^{x_1} F(x) \ dx$

Observa que "F" solo "puede salir fuera de la integral" si es constante, independiente de x. Pero en este caso:

$F(x)=\beta (L^2-x^2) \ m g \neq Cte$

Si la fuerza "F" y el desplazamiento "s" NO fuese paralelos, recuerda que entonces:

$\dst W=\int_{s_0}^{s_1} \vec{F}(s) \cdot d\vec{s}$

... Para, el segundo apartado, no sé qué condiciones exigir para que la partícula describa la semicircunferencia de radio R completa ...

Te lo explica Richard en el post#3

$\dfrac{v_f^2}{R}=g$

¿Hay algo que no entiendes?

Saludos.

[Quim]

Re: Dinámica de una partícula en presencia de rozamiento y movimiento circular

$W=F \Delta x$ solo es aplicable si la fuerza es constante en todo el recorrido "x" Pero en general

$dW=F(x) \ dx$

$\dst W=\int_{x_0}^{x_1} F(x) \ dx$

Observa que "F" solo "puede salir fuera de la integral" si es constante, independiente de x. Pero en este caso:

$F(x)=\beta (L^2-x^2) \ m g \neq Cte$



Te lo explica Richard en el post#3

$\dfrac{v_f^2}{R}=g$

¿Hay algo que no entiendes?

Saludos.

¿Por qué la condición debe ser esa? ¿Y en el post#3 dijo que la normal variaba en función del ángulo, eso es así?

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El planteo que propones del primer apartado es correcto llegas a

$\frac 12mv_0^2-\dst\int\limits_0^L mg\beta (L^2-x^2) \dd x=\frac 12mv_B^2$
De donde despejas $v_B$

En el segundo apartado aplicas el mismo principio, pero ahora tienes que aplicar que la normal aplicada por la superficie curva al cuerpo se haga nula en el punto superior o donde es liberada.Si aplicas allí equilibrio de fuerzas ,te sale que la aceleración centrípeta es igual a la aceleración de la gravedad de modo que

$\dfrac{v_f^2}{R}=g$

Al plantear la conservación ,reemplazas aplicando la relación , te queda entonces

$\frac 12mv_{min}^2-\dst\int\limits_0^L mg\beta (L^2-x^2) \dd x-\dst\int\limits_0^{\pi } mg\beta (R^2)(R-Rcos\theta) \dd \theta=mg2R+\frac 12mv_f^2=$$mg2R+\frac 12mgR=\frac 52mgR$


De donde despejas $v_{min}$

No había visto tu respuesta ,saludos alriga

Pd ahora que pienso la normal y la centrípeta varían también con el ángulo, luego precisare el cálculo

¿Por qué varían la normal y la centrípeta con el ángulo? ¿Cómo sería la fórmula general en tal caso?

[Richard R Richard]

Re: Dinámica de una partícula en presencia de rozamiento y movimiento circular

¿Por qué la condición debe ser esa? ¿Y en el post#3 dijo que la normal variaba en función del ángulo, eso es así?....¿Por qué varían la normal y la centrípeta con el ángulo? ¿Cómo sería la fórmula general en tal caso?

Hola ante todo mil disculpas , he posteado antes de ir a trabajar y se me hizo imposible contestar durante el dia

Sí, la normal varia con el ángulo $\theta$ en todo instante mientras hace la semicircunferencia el cuerpo está sometido al siguiente equilibrio en la dirección radial

$N-mg\cos\theta=m\dfrac{v_{\theta}^2}{R}$

la conservación de la energía se plantea como

$\frac12m v_B^2-\dst\int\limits_0^{\pi}\mu N \dd x=\frac 12mv_{\theta}^2+mg(R-R\cos\theta)$



reemplazando lo que vale $\mu$ y lo que vale la normal N en función del ángulo de la primer ecuación en la segunda, y sabiendo que $\dd x=R\dd \theta$

$\frac12m v_B^2-\dst\int\limits_0^{\pi}\beta R^2 \left(mg\cos\theta+m\dfrac{v_{\theta}^2}{R}\right) R\dd \theta=\frac 12mv_{\theta}^2+mg(R-R\cos\theta)$

de donde

$\frac12m v_B^2-\pi\beta R^2mv_{min}^2=\frac 12mv_{min}^2+mg2R$

y se despeja la velocidad mínima

[JCB]

Re: Dinámica de una partícula en presencia de rozamiento y movimiento circular

Hola a todos.

La primera parte del problema, tiene un resultado cuyo veredicto es unánime y con el que coincido plenamente. Como dicen Alriga y Richard a la par, planteando la conservación de la energía, se llega a la siguiente expresión, de la cual se obtiene $v_L$ (ó $v_B$):

$\dst \dfrac 1 2 m v_0^2=\dfrac 1 2 m v_L^2+\int_0^L \beta (L^2-x^2) \ m g \ dx$

Ahora bien, la segunda parte no acabo de comprenderla. Richard llega a la expresión (post # 7):

$\frac12m v_B^2-\dst\int\limits_0^{\pi}\beta R^2 \left(mg\cos\theta+m\dfrac{v_{\theta}^2}{R}\right) R\dd \theta=\frac 12mv_{\theta}^2+mg(R-R\cos\theta)$

donde $v_{\theta}$ dentro de la integral es variable en función de $\theta$, por lo que no entiendo cómo se puede resolver la integral sin saber cómo varía $v_{\theta}$. Por el contrario, en el lado derecho de la igualdad, $v_{\theta}$, sí que es constante ($v_{\theta}=v_{\pi}=\sqrt{Rg}$, como dice Richard en el post # 3).

Lo siento, pero de momento, solo puedo aportar incertidumbre.

Saludos cordiales,
JCB.

[Richard R Richard]

Re: Dinámica de una partícula en presencia de rozamiento y movimiento circular

por lo que no entiendo cómo se puede resolver la integral sin saber cómo varía $v_{\theta}$.

es que $v_{\theta}$ surge de resolver la ecuación de la energía para cada ángulo $\theta$ entre 0 y $\pi$,

para un ángulo $\theta_1$ especifico

$\frac12m v_B^2-\dst\int\limits_0^{\theta_1}\beta R^2 \left(mg\cos\theta+m\dfrac{v_{\theta}^2}{R}\right) R\dd \theta=\frac 12mv_{\theta_1}^2+mg(R-R\cos\theta_1)$

por lo que el valor numérico de la integral $\dst\int\limits_0^{\theta_1}\beta R^2 m\dfrac{v_{\theta}^2}{R} R\dd \theta$ es definido por la introducción de una condición de contorno que relacione la integral de $v_{\theta_1}$ con $\theta_1$....

En general en la práctica lo que se hace es ir midiendo velocidades y ángulos para hallar un valor ponderado de $\mu$ pero nadie puede afirmar a ciencia cierta que la expresión analitica del coeficiente de rozamiento en la curva se corresponda con $\beta R^2$ y con $\beta(L^2-x^{2})$, bueno o almenos eso es lo que creo sucede.

En tal caso será hacer una serie de mediciones para hallar el area debajo de la curva [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] y relacionarla con el valor de $\theta_1$ para tener una función aproximada.

o bien se puede usar algún método , que no me doy cuenta ahora, para resolver la ecuación diferencial ya que $v_{\theta_1}=\omega_{\theta_1}R=\dfrac{\partial \theta_1}{\partial t}R$