Otras carreras La constante gravitación universal

[Pola]

Buenos días.

Tengo una duda que casi da verguenza, pero he buscado explicaciones en varios sitios y no las encuentro. Si me podéis ayudar, os lo agradeceré.

El otro día, leyendo un libro me tropecé con la famosa ley de Newton sobre la gravitación universal. Como sabemos, explica que la intensidad de la fuerza gravitatoria existente entre dos cuerpos es directamente proporcional al producto de sus masas e inversamente proporcional al cuadrado de sus distancias.

Me asaltaron varias dudas. La primera es ¿Y de dónde sale la constante de gravitación universal "G" que también multiplica el cociente anterior? ¿Por qué o para qué hace falta? He estado buscando en varios lugares y sólo encuentro referencias a la balanza de torsión de Cavendish, donde se calcula su valor y otras disquisiciones sobre su exactitud. Pero nada que explique por qué razón aparece en la fórmula.

Un saludo

[Ulises7]

Re: La constante gravitación universal

Buenos días.

Tengo una duda que casi da verguenza, pero he buscado explicaciones en varios sitios y no las encuentro. Si me podéis ayudar, os lo agradeceré.

El otro día, leyendo un libro me tropecé con la famosa ley de Newton sobre la gravitación universal. Como sabemos, explica que la intensidad de la fuerza gravitatoria existente entre dos cuerpos es directamente proporcional al producto de sus masas e inversamente proporcional al cuadrado de sus distancias.

Me asaltaron varias dudas. La primera es ¿Y de dónde sale la constante de gravitación universal "G" que también multiplica el cociente anterior? ¿Por qué o para qué hace falta? He estado buscando en varios lugares y sólo encuentro referencias a la balanza de torsión de Cavendish, donde se calcula su valor y otras disquisiciones sobre su exactitud. Pero nada que explique por qué razón aparece en la fórmula.

Un saludo

No te avergüences de tu duda porque no es tonta ni obvia.

No te sale nada porque Newton "sólo" descubrió que:

$\dst \vec{F} \propto -\dfrac{M m}{r^3} \vec{r}$

Esta proporcionalidad se convierte en igualdad mediante la constante de gravitación unviersal $G$:

$\dst \vec{F} = -G \dfrac{M m}{r^3} \vec{r}$

Que Newton desconocía. No fue hasta Cavendish que descubrió experimentalmente su valor mediante la balanza de torsión.

Según la Ley de Gravitación universal de Newton, $G$ no tiene significado intrínseco, igual que desconocemos el origen de esta fuerza y vemos que interacciona al instante (no hay nada inherente que nos indique que estas interacciones viajen como ondas con velocidad finita).

No fue hasta Einstein, con su teoría de la Relatividad General en 1915, que dió una explicación a la gravedad. Y aquí ya no entro porque desconozco los detalles, pero entiendo que esta teoría sí da cuenta del origen de $G$ (intuitivamente entiendo que tendrá que ver con la métrica del espacio de Minkowski), a diferencia de la de Newton.

Respecto a que para qué hace falta, pues para medir exactamente la intensidad de la interacción. Al ser una constante de valor tan pequeña, se requieren de masas enormes para que las fuerzas sean apreciables. Si desconocemos su valor sólo tendremos una idea de la relación de proporcionalidad entre diferentes magnitudes cuando intervenga la gravedad pero no podremos hacer predicciones exactas.

[Alriga]

Re: La constante gravitación universal

Como bien te explica Ulises7

... Newton ... descubrió que:

$\dst \vec{F} \propto -\dfrac{M m}{r^3} \vec{r}$

Es decir, descubrió que la fuerza de atracción gravitatoria era proporcional al producto de las masas e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia. El tema está en que nosotros medimos esas magnitudes en unidades arbitrarias:

Masa en kilogramos
Distancia en metros

Y queremos obtener la Fuerza, medida en newtons. Eso obliga a que para conseguir pasar de proporcionalidad a igualdad, como de nuevo bien explica Ulises7, hay que "poner un número" en la expresión matemática que sirva para ajustar unidades. Ese número deberá tener dimensiones de N·m²/kg² y un valor tal que cuando haya 2 masas de 1 kg cada una separadas por 1 m, como entonces medimos una fuerza gravitatoria atractiva entre ellas de $6.6741\cdot 10^{-11}$ N, eso obliga a que el valor que hay que poner ahí como constante de proporcionalidad es $6.6741\cdot 10^{-11}$

En las unidades adecuadas, Unidades de Planck no aparece "G", y la Ley de Gravitación Universal se escribe en esas unidades:

$\dst \vec{F} = -\dfrac{M m}{r^3} \vec{r}$

... No fue hasta Einstein, con su Teoría de la Relatividad General en 1915, que dio una explicación a la gravedad ...

En la T.G. de la R. de Einstein entiendo que la situación es la misma, con la unidades "humanas" hay que poner las constantes "c" y "G" en las ecuaciones de campo:

$\boldsymbol{G_{\mu \nu}}=\dfrac{8\pi G}{c^4} \ \boldsymbol{T_{\mu \nu}}$

Que desaparecen si se usan, bien sea Unidades geométricas, bien sea Unidades de Planck:

$\boldsymbol{G_{\mu \nu}}=8\pi \ \boldsymbol{T_{\mu \nu}}$

Saludos.

[Pola]

Re: La constante gravitación universal

Pues gracias por vuestras respuestas. Ahora lo entiendo un poco mejor.

Al leerlas, me ha surgido otra duda: de la definición de la unidad de fuerza (Newton), se podría calcular teóricamente el valor de G, ¿no? Sabríamos el valor de las dos masas, de la distancia y de la fuerza. La única incógnita sería precisamente G. ¿O me equivoco?

[Alriga]

Re: La constante gravitación universal

... de la definición de la unidad de fuerza (Newton), se podría calcular teóricamente el valor de G, ¿no? Sabríamos el valor de las dos masas, de la distancia y de la fuerza. La única incógnita sería precisamente G. ¿O me equivoco?

Supongo que lo que quieres decir es que de la medida de una fuerza gravitatoria de 1 N se puede calcular G si se conoce el valor de cada una de las dos masas y la distancia entre ellas que provocan esa fuerza de 1 N. En efecto así es:

$G=F\dfrac{d^2}{m_1\cdot m_2}$

Si F= 1 N, entonces

$G=\dfrac{d^2}{m_1\cdot m_2}$ en unidades N·m²/kg²

La definición de newton está basada en la 2ª Ley de Newton $\boxed{\vec F=m \cdot \vec a}$, no en la Ley de Gravitación Universal:

"Un Newton es la fuerza necesaria para acelerar un kilogramo de masa a razón de un metro por segundo al cuadrado en la dirección de la fuerza aplicada" Por lo tanto, a partir de la definición de la unidad de fuerza "newton" nada podemos decir directamente de la constante de gravitación universal.

Saludos.

[Richard R Richard]

Re: La constante gravitación universal

. Ese número deberá tener dimensiones de N·m²/kg² y un valor tal que cuando haya 2 masas de 1 kg cada una separadas por 1 m sufran una fuerza gravitatoria atractiva entre ellas de 1 N. Entonces eso obliga a que el valor que hay que poner ahí es $6.6741\cdot 10^{-11}$

Creo que tuviste la intención de decir

Ese número deberá tener dimensiones de N·m²/kg² y un valor tal que cuando haya 2 masas de 1 kg cada una separadas por 1 m sufran una fuerza gravitatoria atractiva entre ellas de $6.6741\cdot 10^{-11}$ N usando esas unidades, como surge experimentalmente Entonces eso obliga a que el valor que hay que poner ahí es $6.6741\cdot 10^{-11}$.

[Pola]

Re: La constante gravitación universal

Pues si, quería decir lo que Alriga dice que yo quería decir: que de la medida de una fuerza gravitatoria de 1 N se podía deducir la constante G

Y por otra parte, me lié con la definición de fuerza...estuve mirando distintas páginas en wikipedia y al final me confundí.

Gracias de nuevo