Divulgación Modulo de Young

[China]

Buenas, saludos a todos que hace mucho que no participo en el foro...

Os pongo un problema y las dudas que me surgen sobre él:
Una masa de 16 kg sujeta del extremo de un alambre de acero de longitud 60 cm da vueltas describiendo circunferencia vertical con velocidad angulas 2 rev/seg en el punto inferior de la trayectoria. La sección transversal del alambre es 6,25 mm2. Calcular el alargamiento del muelle en el punto más bajo. Datos modulo Young del acero 20000 Kg/mm2.

Yo le he hecho del siguiente modo... En el punto bajo Fc=T-P, he planteado Fc=mw2R=mw2(L+incrementoL) en esta ecuación tengo dos incógnitas la fuerza y el incremento de L, he planteado como segunda ec la formula de Y=F/S/incrementoL/L y con ambas ecuaciones he hallado F e incremento de L... Pues yo bien contenta voy a la solución y "zasca" nada que ver.. lo plantea del siguiente modo:
1. Calcula la fuerza centripeta aplicando la formula, pero usando como radio la longitud inicial del muelle... primer punto que no entiendo, si en la trayectoria el muelle se estira el radio será la longitud inicial más el estiramiento no???
2. Una vez que tienen la Fc, le suma el peso y esta fuerza total es la que se considera que produce el estiramiento... otro punto que no entiendo... la Fc es una fuerza ficticia.. resultante de las fuerzas reales que intervienen sobre un cuerpo no?? Tiene sentido sumar a la Fc el peso?? no se supone que en el punto bajo de la trayectoria será precisamente la Fc el resultado de la T del hilo menos el P??
3. Una vez tienen la F aplica la formula del modulo de Young y despeja el incremento de L.
Alguien que me ayude con estas dudas??
Gracias

[JCB]

Re: Modulo de Young

Hola China.

Si la masa gira en un plano vertical, en el punto más bajo de la trayectoria, la tensión del cable es igual a la fuerza del peso más la fuerza centrífuga.

$T=mg+m\dfrac{v^2}{l}=mg+m\dfrac{\omega ^2l^2}{l}=m(g+\omega ^2l)$.

Y es esta tensión, la que se substituye en la expresión que relaciona fuerza y alargamiento, $F=\dfrac{ES\Delta l}{l}$.

Tal y como tú lo haces, es más exacto, pero el valor obtenido de $\Delta l$, sale prácticamente idéntico (0,82 mm).

Saludos cordiales,
JCB.

[Richard R Richard]

Re: Modulo de Young

1. Calcula la fuerza centripeta aplicando la formula, pero usando como radio la longitud inicial del muelle... primer punto que no entiendo, si en la trayectoria el muelle se estira el radio será la longitud inicial más el estiramiento no???

Imagina que en vez del alambre es un resorte o muelle, este se estirara mucho mas visiblemente a causa de la velocidad angular, por lo tanto es certera tu afirmación, pero como$\Delta L$ es muy pequeño en comparación con $L$ el error de hacer el cálculo de uno u otro modo es casi despreciable.

2. Una vez que tienen la Fc, le suma el peso y esta fuerza total es la que se considera que produce el estiramiento... otro punto que no entiendo... la Fc es una fuerza ficticia.. resultante de las fuerzas reales que intervienen sobre un cuerpo no?? Tiene sentido sumar a la Fc el peso?? no se supone que en el punto bajo de la trayectoria será precisamente la Fc el resultado de la T del hilo menos el P??

En realidad lo que estira el alambre es T su tensión entre extremos , en uno esta el anclaje o vinculo y el peso P colocado en el otro extremo colabora con el incremento de la tensión aún estando sin girar y la centrípeta aporta una tensión adicional , para que la masa pueda describir la trayectoria cuasi elíptica o elíptica ya no lo recuerdo. En el punto inferior puede suponer que la trayectoria es circular y aproximar la centrípeta a $m\omega^2(L+\Delta L)$

3. Una vez tienen la F aplica la formula del módulo de Young y despeja el incremento de L.

como te dije antes es T lo que debes colocar en la fórmula para calcular el incremento de longitud

$$T-mg=m\omega^2(L+\Delta L)$$

$$Y=\dfrac{T/S}{\Delta L /L}$$

luego

$$Y=\dfrac{\dfrac{mg+m\omega^2(L+\Delta L)}S}{\dfrac{\Delta L }L}$$

$$\Delta L \dfrac YL=\dfrac{mg+m\omega^2L}S+\Delta L\dfrac{m\omega^2}S$$

$$\Delta L (\dfrac YL-\dfrac{m\omega^2}S)=\dfrac{mg+m\omega^2L}S$$

$$\boxed{\Delta L=\dfrac{mg+m\omega^2L}{\dfrac{SY}L-m\omega^2}}$$

sin haber hecho cálculos intuyo que el término $m\omega^2$ es despreciable frente a $\dfrac{SY}L$ , por lo que se necesitarán muchas rpm para notar un incremento del estiramiento que lo desvíen del símil de la circunferencia de radio L. si desprecias este termino llegas a lo que te ha aportado JCB.

Al otro extremo cuando $\Delta L$ supera al limite elástico del material para el acero el $\epsilon=\dfrac{\Delta L}{L}=0.2\%$ , el alambre tendrá deformación permanente, y hay que recordar que ya no se cumple la ley de hooke, que la sección se va reduciendo y que el esfuerzo $\sigma =\dfrac{T}{S}$ debe contemplar la reducción de sección conservandose el volumen del alambre. $V=S_oL$ por lo que $S=S_o\dfrac{L}{L+\Delta L}<br />$

Otro Tip la velocidad angular esta en Rps por lo que $\omega =4\pi/s$ revisa si te falto esa conversión.

[JCB]

Re: Modulo de Young

Gracias Richard por entrar en el detalle de la posibilidad de una deformación permanente, yo ni siquiera había caído en la cuenta de esa posibilidad.

Como decía, hice las cuentas con ambos métodos, y los valores salían prácticamente idénticos.

- Método convencional: $\Delta l=0,8193 mm$.
- Método más exacto: $\Delta l=0,8203 mm$.

Con este valor de $\Delta l=0,8203 mm, \dfrac{\Delta l}{l}=0,0014<0,002$, por lo que nos mantenemos dentro de la zona elástica.

Saludos cordiales,
JCB.

[Richard R Richard]

Re: Modulo de Young

Si con 2 rps ya estas al 70% de lo que el alambre resiste sin deformar, menos mal que el dato del problema no fue 3 rps ya que creo excede el limite, muchas veces he visto problemas donde si bien es resoluble matemáticamente es imposible en la práctica reproducir los resulltados.
Como ves el error cometido simplificando es muy bajo, pero para ciertas aplicaciones es fundamental evitarlo.