1r ciclo Relación matemática entre una partícula que se mueve a velocidad constante y el tiempo?

[alejandro77]

Buenas! Me dejaron esta pregunta en una practica en fisica y pues no la entiendo y despues de estar buscando un buen rato no he logrado encontrar una respuesta y por eso estoy aqui. Espero que me puedan ayudar muchas gracias!

[Ulises7]

Re: Relacion natematica entre una particula que se mueve a velocidad constante y el tiempo?

Si se mueve a velocidad constante tienes que no actúa ninguna fuerza neta (o bien no actúa ninguna fuerza o bien la resultante de la sumas de fuerzas que actúan sobre el cuerpo es nula) por tanto su aceleración es 0, no habiendo cambio en la velocidad:

Si

$\dst \sum_{i}\mathbf{F_i} = 0 \Rightarrow \mathbf{a} = 0 <br />$

Ya que (cuando $m$ es constante) $\dst \sum_{i}\mathbf{F_i} = m \mathbf{a}$

Aquí tienes analizada la dinámica de la partícula desde el punto de vista clásico (2ª Ley de Newton), desde el punto de vista estrictamente cinemático tienes que:

$\mathbf{a} = \dfrac{\dd \mathbf{v}}{\dd t}$

Si $\dst \mathbf{a} = 0 \Rightarrow \mathbf{v} = cte$

Que es la situación que has propuesto, siendo el análisis coherente (fuerza nula implica una velocidad constante). Si la velocidad constante, la integral de la velocidad es inmediata (ya que puede salir del integrando):

$\mathbf{v} = \dfrac{\dd \mathbf{r}}{\dd t}$

$\dst \int_{\mathbf{r_1}}^{\mathbf{r_2}} \mathbf{\dd r} = \int_{t_1}^{t_2} \mathbf{v} \dd t = \mathbf{v} \int_{t_1}^{t_2} \dd t = \mathbf{v} \Delta t$


Así tienes que la relación es:

$\dst \mathbf{v} = \dfrac{\int_{\mathbf{r_1}}^{\mathbf{r_2}} \mathbf{\dd r}}{\Delta t} = \dfrac{\Delta \mathbf{r}}{\Delta t}$

Y llegamos a la famosa ecuación del MRU, la única diferencia con la expresión que te puedes encontrar en bachillerato es que la he puesto de forma vectorial de forma que es válida para 1 dimensión (x) pero también en dos (x,y plano) o tres (x,y,z espacio euclídeo tridimensional), donde $\Delta \mathbf{r}$ es la diferencia del vector posición entre el punto final y el punto inicial del tiempo transcurrido $\Delta t$.