1r ciclo Muelle constante recuperadora

[jssln]

Me podeis ayudar con este ejercicio:

Considera un muelle de constante recuperadora k = 4 N/m unido a una masa de m = 1 kg en un medio en el que la fuerza de rozamiento es proporcional a la velocidad tal que ${F}_{ r} = - bv$ con b = 2 Ns/m.

a) Encuentra el régimen de movimiento de este sistema.
b) Suponiendo que x (0) = A y que $\dot{x} (0) = 0$, calcula cuanto se habrá reducido la amplitud al cabo de 4 pseudoperíodos.
c) Calcula el tiempo que ha de transcurrir para que la amplitud se reduzca un 1% de la inicial dadas las anteriores condiciones iniciales.

[Richard R Richard]

Re: Muelle constante recuperadora

a) la ecuación del movimiento es

$m\ddot x=-kx-bv$

cuya solucion la obtienes reolviendo la ED de segundo grado orden

$x=A\ee^{-bt}\sin(\omega t+\phi)$

donde $A$ y $\phi$ son dependen de las condiciones de contorno iniciales del movimiento



en b como te da la constante de amplitud A y te dice que la velocidad es nula a tiempo cero entonces$\phi=\dfrac{\pi}{2}$

calcula cuanto es un periodo con \omega y mutiplicalo por 4 y evalúa la función posición para ese tiempo.

en c haces lo mismo pero ahora tienes el dato de la posición 0.01A sabes que $\sin omega t\ to 1$ así que encuentra el tiempo resolviendo la exponencial, luego con ese tiempo busca el siguiente pseudoperiodo donde realmente se cumple $\sin nT=\sin omega t_n= 1$ con eso te garantizas que la amplitud esta por debajo de 0.01A para un tiempo $t_n$ ligeramente mayor que $t$

[Alriga]

Re: Muelle constante recuperadora

Si la ecuación diferencial es como dice Richard:

$m\ddot x=-kx-bv$

$v=\dot x$

Para este caso particular m=1, k=4, b=2, se convierte en:

$\ddot x+2 \dot x +4 x=0$

a) la ecuación del movimiento es

$m\ddot x=-kx-bv$

cuya solución la obtienes resolviendo la ED de segundo grado...

Aquí siendo tiquismiquis, debería decir "la obtienes resolviendo la ED de segundo orden"

La solución a esa ecuación es la que dice Richard:

$x=B \ \exp (-t) \ \sin(\sqrt 3 \ t+\phi)$

Siendo B y $\phi$ dos constantes a determinar mediante las condiciones iniciales.

Saludos.